1、第5课时 合情推理与演绎推理 1合理推理(1)归纳推理：由某类事物的_对象具有某些特征，推出该类事物的_对象都具有这些特征的推理，或者由_事实概括出_的推理，称为归纳推理简言之，归纳推理是由_到_，由_到_的推理部分全部个别一般结论部分整体个别一般(2)类比推理：由两类对象具有_和其中一类对象的某些_，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之，类比推理是由_到_的推理(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_，_，_，_，再进行_，_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理某些类似特征已知特征特殊特殊观察分析比较联想归纳类比【思考探究】合情推理的结论一定正确
2、吗？提示：合情推理所得结论只是一种猜想，未必可靠；正确与否，尚需证明2演绎推理(1)演绎推理：从_出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由_到_的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提_；小前提_；结论_一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况根据一般原理，对特殊情况做出的判断1数列 0,1,3,7,15,31 的一个通项公式是()Aan2n1 Ban2n1Can2n11Dan2n11答案：C2下列说法正确的是()A合情推理就是归纳推理B合情推理的结论不一定正确，有待证明C演绎推理的结论一定正确，不需证明D类比推理是从特殊到一般
3、的推理答案：B3下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；张军某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角和是 180，四边形内角和是360，五边形内角和是 540，由此得凸 n边形内角和是(n2)180.ABCD解析：是类比推理，是归纳推理，是归纳推理，所以为合情推理答案：C4a(1,0)，b(0，1)，ab(1,0)(0，1)100(1)0.ab.大前提：_；小前提：_；结论：_.答案：若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 ab0 ab5对于平
4、面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类 比 上 述 命 题，可 以 得 到 命 题：“_”，这个类比命题的真假性是_解析：由类比推理可知答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题归纳推理归纳推理的特点：(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的【注意】归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用直线 l1 与 l2 是同一平面内的两条相交线，它们有一个交点，如果在这个平面内再画第 3 条直线，那么这三条直线最多可能有_
5、个交点，如果在这个平面内再画第 4 条直线，那么这 4 条直线最多可能有_个交点，由此可以猜想：在同一个平面内 6 条直线最多可有_个交点；n(n 为大于 1 的整数)条直线最多可有_个交点(用含有 n 的代数式表示)解析：本题根据已知猜想 n条直线的交点个数，可将 n 取几个特殊值时的交点个数列出来，根据规律去猜想.n 的取值交点个数213346510由以上数据可看出如下规律：312；6123；101234.故猜想 n 条直线的交点个数为 123(n1)nn12.当 n6 时，交点个数为652 15.答案：3 6 15 nn12【变式训练】1.已知：f(x)x1x，设 f1(x)f(x)，f
6、n(x)fn1fn1(x)(n1 且 nN*)，则 f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_解析：由 f1(x)f(x)和 fn(x)fn1fn1(x)(n1 且 nN*)，得f2(x)f1f1(x)x1x1x1xx12x，f3(x)f2f2(x)x12x1x12xx122x，由此猜想 fn(x)x12n1x(nN*答案：f3(x)x122x fn(x)x12n1x(nN*)类比推理1类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构2类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公式、结论等
7、，可以类比到立体几何中，得到类似的结论(2009江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：由题意知，在平面上，两个相似的正三角形的面积比是边长比的平方由类比推理知：体积比是棱长比的立方即可得它们的体积比为 18.答案：18【变式训练】2.给出下列三个类比结论(ab)nanbn 与(ab)n 类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay 与 sin()类比，则有 sin()sin sin；(ab)2a22abb2 与(ab)2 类比，则有(ab)2a22abb2.其中
8、结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：正确答案：B演绎推理数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的推理往往是由多个“三段论”构成的在演绎推理中，只要大前提、小前提和推理形式是正确的，结论必正确，否则所得的结论是错误的(1)证明：函数 f(x)x22x 在(，1上是增函数；(2)当 x5，2时，f(x)是增函数还是减函数？解析：(1)证法一：任取 x1，x2(，1，x1x2，则 f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)，x1x21，x2x120，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，于是，根据“三段论”可知，f(x)x22x 在(，1上是增函数证法二：f(
9、x)2x22(x1)，当 x(，1)时，x10，2(x1)0，f(x)0 在 x(，1)上恒成立故 f(x)在(，1上是增函数(2)f(x)在(，1上是增函数，而5，2是区间(，1的子区间，f(x)在5，2上是增函数【变式训练】3.在锐角三角形 ABC 中，ADBC，BEAC，D、E 是垂足，求证：AB的中点 M 到 D，E 的距离相等证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提)在ABD 中，ADBC，即ADB90，(小前提)所以ABD 是直角三角形(结论)同理，AEB 也是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而 M 是 RtABD 斜边 A
10、B 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提)所以 DM12AB.(结论)同理，EM12AB.所以，DMEM，即 AB 的中点 M 到 D、E的距离相等1归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然的，而是或然性的也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理是一种或然性推理归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性归纳的前提是特殊的情况，因而
11、归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上的归纳推理的一般步骤：(1)对相关资料进行观察、分析、归纳整理；(2)提出带有规律性的结论(猜想)；(3)检验猜想2类比是一种主观的不充分的似真的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还需经过严格的逻辑论证，类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜想)；(3)检验猜想3演绎推理是由一般到
12、特殊的推理“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论据一般原理，对特殊情况作出的判断在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新的命题从近两年的高考试题来看，归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现，为中低档题，突出“小而巧”，主要考查类比推理、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中高档题目，在知识交汇点处命题，考查学生的逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力(2010陕西卷)观察下列等式：1323(12
13、)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_【全解全析】由前三个的规律即：左边为连续正整数的立方和，右边为连续正整数和的平方，可得结果答案：1323334353(12345)2(或 152)【阅后报告】本题考查了归纳推理，其难点是由已知三个式子归纳出一般性结论1(2010山东卷)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)解析：观察可知，偶函数 f(x)的导函数 g(x)
14、都是奇函数，所以 g(x)g(x)，故选 D.答案：D2(2009浙江卷)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12 成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_，_，T16T12成等比数列解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因 此 T8T4 a5a6a7a8，T12T8 a9a10a11a12，T16T12 a13a14a15a16，而 T4，T8T4，T12T8，T16T12的公比为 q16，因此 T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列答案：T8T4 T12T8练规范、练技能、练速度
