1、对数函数与一次函数、二次函数等函数的复合问题，讨论函数的有关性质，如定义域、值域、单调性等求解时注意换元法、分类讨论、数形结合等数学思想方法的运用考点一 对数函数与其他函数的复合函数的性质示范1 已知函数 f(x)ln(5k)x26xk5，(1)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 k 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 k 的取值范围分析(1)函数 f(x)的定义域为 R，说明真数大于 0 恒成立；(2)函数 f(x)的值域为 R，说明真数的取值必须包含区间(0，)的任何值解析(1)若 f(x)的定义域为 R，则(5k)x26xk50 恒成立若 5k0，即 k5 时，6
2、x0，不是恒成立，若 5k0，即 k5 时，解得 k2，故 k 的取值范围是k|k2(2)若 f(x)的值域为 R，则(5k)x26xk5 的值要取遍(0，)内的所有值解得5k2 或 k5，k 的取值范围是k|5x2【点评】1定义域为 R，意味着真数恒大于零.对于不等式5kx26xk50 不能简单认为是二次不等式.注意分类讨论.2设 ylogaux0a1对数函数值能取遍全体实数，真数 ux就必须取遍0，内的所有值，ux在作为真数之前，是否出现负值或零无关紧要，关键是 ux的取值要包含0，中的所有值.至于 ux中的负值及零只要通过定义域要求去掉即可.展示1 已知函数 f(x)log0.5(x22
3、ax3)，(1)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)的值域为(，1，求实数 a 的值【解析】(1)函数 f(x)的值域为 R 等价于函数 ux22ax3能取遍(0，)上的一切值，所以 umin3a20，即 a 3或 a 3.实数 a 的取值范围是(，3 3，)(2)函数 f(x)的值域为(，1，函数 ux22ax3 的值域为2，)3a22.a1.方法点拨：对于复合函数 ylogafx的定义域，由 fx0，可得若求值域，则先求函数 fx的值域，再利用函数 logau 的单调性可求得函数 logafx的值域；若知值域，求参数的取值范围，则可先求函数 fx的值
4、域，再根据具体问题进行求解.考点二 对数函数综合问题示范2 设 a，bR 且 a2，定义在区间(b，b)内的函数f(x)lg1ax12x是奇函数，(1)求实数 b 的取值范围；(2)讨论函数 f(x)的单调性分析 由奇函数可求出实数 a 的值；由定义域可求实数 b 的取值范围；复合函数的单调性，要分解成基本函数和简单函数进行讨论解析(1)f(x)是奇函数，对于任意 x(b，b)都有 f(x)f(x)，即 lg1ax12xlg1ax12x，由此可得1ax12x12x1ax，即 a2x24x2，a24，a2，a2.又12x12x0，即12x12，此式对任意 x(b，b)都成立，相当于12bb12，
5、所以得 b 的取值范围为0，12.(2)对任意的 x1、x2(b，b)且 x1x2，由 b0，12，得12bx1x2b12，所以 012x212x1，012x112x2，从而 f(x2)f(x1)lg12x212x2lg12x112x1lg12x212x112x212x1lg 10.f(x2)f(x1)，因此 f(x)在(b，b)上是减函数【点评】展示2 已知函数 f(x)loga(aax)(a1 且 a 是常数)，(1)求函数 f(x)的定义域和值域；(2)判断函数 f(x)的单调性(3)求证：函数 yf(x)的图象关于直线 yx 对称。【解析】(1)由 aax0,得 ax1，所以 x1，即
6、函数 f(x)的定义域是(，1)因为 x1，所以 0axa，即 0aaxa.所以 loga(aax)logaa1，即函数 f(x)的值域为(，1)(2)设x1x21，则a 1x a 2x aa 2x 0.又a1，loga(aa 1x)loga(aa 2x)，即f(x1)f(x2)函数f(x)是区间(，1)上的减函数方法点拨：对数函数经常与一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数等函数复合，然后研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.有时还解决方程、不等式的问题.解决这些问题，一般是把复合函数分解成基本函数和简单函数求解.复合函数 ylogaf(x)的性质的题型有求复合函数的单调区间和最值
7、等，常与一元二次函数复合解题过程要注意底数 a对单调性的影响，要特别注意其真数大于零，注意分类讨论、数形结合1(2011 江苏)函数 f(x)log5(2x1)的单调递增区间是_【答案】12，【解析】考查函数性质，容易题因为 2x10，所以定义域为12，由复合函数的单调性，知函数 f(x)log5(2x1)的单调递增区间是12，.2(2010 重庆)下列区间中，函数 f(x)|lg(2x)|在其上为增函数的是()A(，1 B.1，43C.0，32D1,2)【答案】D【解析】用图象法解决，将函数 ylg x 的图象关于 y 轴对称得到函数 ylg(x)的图象，再向右平移 2 个单位长度，得到函数 ylgx2，将得到的图象在 x 轴下方的部分翻折上来，即得到函数 f(x)|lg(2x)|的图象由图象，知选项中函数 f(x)是增函数的显然只有 D.
