1、高考资源网（） 您身边的高考专家4.2.2圆与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解圆与圆的位置关系的种类(重点、易错点)2掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系. (重点、难点)通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含2圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|
2、r1r2|0d|r1r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程思考：将两个相交的非同心圆的方程x2y2DixEiyFi0(i1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A.相离B相交C外切D内切B圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即两圆相交2设r0，两圆C1：(x1)2(y3)2r2与C2：x2y
3、216不可能()A.相切 B相交C.内切或内含或相交 D外切或相离D圆C1的圆心为(1，3)，圆C2的圆心为(0，0)，圆心距d，于是d4r，但可能有d|4r|或d|4r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含3两圆x2y21和(x4)2(ya)225相切，则实数a的值为_0或2圆心距d，又r11，r25.当两圆外切时6，解得a2.当两圆内切时4，解得a0.4已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_x3y0(x1)2(y3)220化为一般式为：x2y22x6y100，又圆x2y210，即x2y2100，得：x3y0，即为直线AB的方程圆与圆
4、的位置关系的判断【例1】当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、外离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2，3)，半径长r11；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2(k50)，从而|C1C2|5.当15，即k34时，两圆外切当|1|5，即6，即k14时，两圆内切当|1|51，即14k34时，两圆相交当15时，即34k50时，两圆外离判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要).(2)分别求出两圆的圆心坐标
5、和半径长r1，r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1r2|，r1r2的大小关系(5)根据大小关系确定位置关系1圆A的方程为x2y22x2y70，圆B的方程为x2y22x2y20，判断圆A和圆B是否相交若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由解圆A的方程可写为(x1)2(y1)29，圆B的方程可写为(x1)2(y1)24，两圆心之间的距离满足32|AB|232，即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，两圆相交圆A的方程与圆B的方程左、右两边分别相减得4x4y50，即4x4y50为过两圆交点的直线的方程两圆相切问题【例2】(1)以(3，4)为圆心，且与圆x2y2
6、64内切的圆的方程为_(2)圆C1：(xm)2(y2)29与圆C2：(x1)2(ym)24外切，则m的值为_.思路探究：(1)(x3)2(y4)29或(x3)2(y4)2169(2)2或5(1)设所求圆的半径为r，则|8r|，所以r3或r13，故所求圆的方程为(x3)2(y4)29或(x3)2(y4)2169.(2)C1(m，2)，r13，C2(1, m)，r22，由题意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为
7、两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).2求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程解已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为C(1，0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0).由题意，可得解得或即所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.两圆相交的问题【例3】求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长. 思路探究：解设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得xy10.因为A，B两点的
8、坐标满足xy10，所以AB所在直线方程为xy10，即C1，C2的公共弦所在直线方程为xy10，圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d，由条件知r2d2，所以直线AB被圆C3截得的弦长为2.1本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？解由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10，对于圆C1：x2y21，该圆的圆心到直线xy10的距离为d，由条件知r2d21，所以公共弦长为2.2本例中若将圆C3的方程“(x1)2(y1)2”改为“(x1)2(y1)24”，其他条件不变，又如何求解呢？解由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦
9、所在的直线l的方程为xy10.圆C3的圆心为(1，1)，其到直线l的距离d，由条件知，r2d24，所以弦长为2.1两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.2公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解1判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用(2)依据圆
10、心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系2当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程3求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长1圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅有()A.1条B2条C3条D4条B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.2圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A.xy30 B2xy50C.3xy90 D4x3y70CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，3)代入，即可排除A，B，D.3若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_1将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y，圆心(0，0)到直线的距离为d1，所以a1.4已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，求圆C的方程解设圆C的半径为r，圆心距为d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236.- 7 - 版权所有高考资源网
