1、高三 一轮复习 第四章平面向量与复数4.1平面向量的概念与线性运算【教学目标】1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【重点难点】 1.教学重点：理解平面向量的概念，掌握向量加法、减法、向量数乘的运算；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真:1.了解向量的实
2、际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 真题再现;1(2015全国，7)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.解析3，3()，即43，. 答案A2.(2015全国，13)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得. 答案3.(2014全国，15)已知A，B，C为圆O上的三点，
3、若()，则与的夹角为_.解析由()可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以与的夹角为90.答案90知识梳理：知识点1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相同且方向相反的向量0的相反向量为0知识点2向量的线性运算向量运
4、算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab知识点3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1必会结论；(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而
5、成的向量和为零向量(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()(3)(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.2必知联系；(1)向量平行与直线平行的联系与区别(2)向量共线与三点共线的区别与联系(当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线)(3)向量的加、减、数乘运算的结果仍是向量，如aa0,0a0.考点分项突破考点一：平面向量的概念1 若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；其中正确命题的序号是()A B C D【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|
6、且 ，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A.【答案】A2给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；设a0是单位向量，若aa0，且|a|1，则aa0.其中假命题的
7、个数为()A1 B2 C3 D4【解析】错误两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误若a或b是零向量，则a与b的方向不相同，也不相反错误向量共线，向量所在直线可能平行错误aa0或aa0. 【答案】D归纳：向量有关概念的关键点1向量定义的关键是方向和长度2非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制3相等向量的关键是方向相同且长度相等4单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度5零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线考点二: 平面向量的线性运算(1)(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B
8、.C. D.(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_【解析】(1)().故选A.(2)D是BC的中点，则2.由0，得.又，点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22.所以2.【答案】(1)A(2)2跟踪训练：1(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.【解析】如图，()2.【答案】C2设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1、2为实数)，则12的值为_【解析】()，1，2，即12.【答案】归纳：向量的线性运算的解题策略1进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三
9、角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解2除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解考点三: 共线向量定理的应用(1)(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(2)设两个非零向量a与b不共线若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使kab和akb共线【解析】(1)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得【答案】(2)证明：ab，2a8b，3(ab
10、)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.跟踪训练：1.设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值【解】(1)证明：2e18e2(e13e2)2e1e23e112e2(2e18e2)，与共线又A为公共点，A，B，D三点共线(2)(e13e2)(2e1e2)e14e2，B，D，F三点共线，即e1
11、4e2(3e1ke2)，解得，k12.综上，k的值为12.归纳：共线向量定理的应用1证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线2证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线3求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
