1、2019-2020学年宁夏银川九中高三（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，单项选择，每小题3分，共60分）1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解得集合，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：，故选A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.2. 已知为虚数单位，复数满足，则共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的乘法运算法则化简复数,根据共轭复数的定义即可求解.【详解】因为复数,由复数乘法运算法则可得,利用共轭复数的定义可得,=,故选:B【点睛】本题考查复
2、数的四则运算及共轭复数的定义;属于基础题.3. 给出以下四个命题，能判断平面和平面平行的条件是( )A. 内有无数条直线都与平行B. 内的任一条直线都与平行C. 直线，直线，且，D. 直线，且【答案】B【解析】【分析】根据空间中平面与平面平行的判定方法，我们逐一分析题目中的四个结论，即可得到答案【详解】A.平面内有无数条直线与平面平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A不满足条件；B.平面内的任何一条直线都与平面平行，则能够保证平面内有两条相交的直线与平面平行，故B满足条件；C. 直线，直线，且，则两个平面可能平行也可能相交，故C不满足条件；D. 直线，且，则两平面可能相交或平行，故D不满足条
3、件故选：B.【点睛】本题主要考查的知识点是空间中平面与平面平行的判定，熟练掌握面面平行的定义和判定方法是解答本题的关键4. 已知向量，则在方向上的投影为A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根据在方向上的投影定义求解.【详解】在方向上的投影为，选C.【点睛】本题考查在方向上的投影定义，考查基本求解能力.5. 小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A. 小钱B. 小李C. 小孙D. 小赵【答案】A【解析】 由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说
4、谎，小钱说谎，不满足题意； 如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.6. 已知函数，则下列关于函数的说法，不正确的是（ ）A. 的图象关于对称B. 在上有2个零点C. 在区间上单调递减D. 函数图象向右平移个单位，所得图像对应的函数为奇函数【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的对称性,其对称轴为判断选项A的正误；根据正弦函数的零点判断选项B的正误;根据正弦函数的单调区间,其增区间为，其减区间为,判断选项C的正误;根据函数的图象平移伸缩变换法则判断选项D的正误;【详解】对于选项A：当时,此时函数，所以的图象关于对称.故选项A正确;对于选项B：当时,所以当时
5、,即函数在上存在零点.故选项B正确;对于选项C：当时,所以当时函数为增函数,当时函数为减函数,所以函数在区间上先增后减.故选项C不正确；对于选项D：函数图象向右平移个单位得到,函数奇函数.故选项D正确;故选: C【点睛】本题主要考查函数的图象变换及正弦函数的图象与性质;重点考查正弦函数的单调性、对称性、奇偶性等;考查学生的计算能力、推理能力;属于中档题.7. 已知双曲线一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据焦点坐标以及离心率信息，列方程，求出即可.【详解】因为抛物线的焦点为，故可得，又双曲线的离心率等
6、于故可得，解得，则该双曲线的实轴长.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程，涉及抛物线焦点坐标的求解，属基础题.8. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A. 96种B. 84种C. 78种D. 16种【答案】B【解析】先确定选的两门: ,再确定学生选: ,所以不同的选课方案有选B. 9. 已知，则（ ）A. 2B. 3C. 2或-1D. 3或1【答案】C【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，化简等式，得到或，然后分类求值【详解】 或，当时， ，；当时，故本题选C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式及两角和的正切公式，本题易错的是
7、，把方程两边同时除以 ，造成少解现象.10. 函数的单调减区间是（ ）A. B. 和C. D. 和【答案】B【解析】【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出的单调递减区间.【详解】因为，所以定义域为，令，在上单调递减，当时，单调递减，所以单调递增；当时，单调递增，所以单调递减；当时，单调递减，所以单调递增；当时，单调递增，所以单调递减；综上可知：的单调递减区间为和.故选：B.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个
8、函数为减函数.11. 已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程并表示出.并结合双曲线的定义、双曲线的几何性质、和,即可求得的值.【详解】双曲线化标准方程可得即 由双曲线定义可知,所以,又因为,所以,由以上两式可得,由得,所以,解得,故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,根据等量关系求参数值,属于基础题.12. 已知函数，若方程F（x）f（x）ax有4个零点，则a的可能的值为（）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】讨论当，两种情况下，结合导数和对称性画出函数
9、的图像，即可求出a的取值范围，进而可选出正确答案.【详解】令得，由题意知，即函数与函数图象有个交点，当时，设是的切线，切点为，解之得，当时，故函数图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，由图知，当时，函数与函数图象有个交点，故选: AB.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取
10、值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13. 若变量满足则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】先画出不等式组表示的平面区域,再由目标函数的几何意义求解即可【详解】由题,设目标函数为,则,由不等式组可得可行域如图所示,平移直线,当与可行域交于点时,截距最小,则最大,联立,解得,所以,即的最大值为4,故答案为:4【点睛】本题考查根据线性规划求最值,考查数形结合思想14. 抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_【答案】【解析】【分析】根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁
11、以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.【详解】由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人岁以下有研究生学历的教师人数为：人岁以下有研究生学历的教师的百分比为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.15. 已知数列满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用累加法求得通项公式，再求解，讨论其最小值.【详解】因为，故可得：解得：，则=结合对勾函数的单调性，可知：当4时，取得最小值，最小值为：.故答案为：.【点睛】本题考查累加法求通项公式，涉及数列的最小值，属综合基础题.16. 关于旋转体的体
12、积，有如下的古尔丁（guldin）定理：“平面上一区域D绕区域外一直线（区域D的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D的面积与D的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”利用这一定理，可求得半圆盘，绕直线x旋转一周所形成的空间图形的体积为_【答案】2【解析】【分析】显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x，根据古尔丁（guldin）定理求得球的体积，根据球的体积公式列等式可解得，再根据这一定理即可求得结果.【详解】显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x，则由题意得：2x（），解得x，所以几何中心到直线x的距离为：
13、，所以得到的几何体的体积为：V（2）（）2故答案为：【点睛】本题考查了球的体积公式，考查了古尔丁（guldin）定理，利用球的体积求出是解题关键，属于中档题.三、解答题（共70分）17. 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B，AD，求ABC的面积【答案】（1）A60；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理可求.【详解】(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin
14、Asin Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，又sin C0，所以化简得sin Acos A1，所以sin(A30).在ABC中，0A180，所以A3030，得A60.(2)在ABC中，因为cos B，所以sin B.所以sin Csin(AB).由正弦定理得，.设a7x，c5x(x0)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即25x249x225x7x，解得x1，所以a7，c5，故SABCacsin B10.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.18. 如图，在多面体中，平面，平面
15、平面，是边长为2的等边三角形，（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.【详解】证明：（1）取中点，连结， ，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，四边形是平行四边形，是等边三角形，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面解：（2）由（1）得平面，又，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则平面与平面所成锐二面角
16、的余弦值为【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.19. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗.（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关.优质花苗非优质花苗合计甲培育法
17、20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考. 0.0500.0100.0013.8416.63510.828（参考公式：，其中）【答案】（1）分布列见解析，；（2）列联表见解析，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）先求优质花苗的频率也即是概率，利用二项分布计算公式计算概率，列出分布列，并求得数学期望.（2）完善列联表，计算出的观测值，根据临界值表得出结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知,优质花苗的频率为,即概率为.设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X,则,于是；.其分布列为：X0123P所以,所抽取的花苗为优质花苗的数学期望（2）频率分布直方图,优质花苗的频
18、率为,则样本中优质花苗的株数为60株,列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得所以,有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查了二项分布分布列和期望的计算，完善列联表以及利用独立性检验的思想解决实际问题，考查了数据分析的能力和运算求解的能力，属于中档题目.20. 已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上的点，是椭圆上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.【答案】（1）；（2）定值，证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率，在椭圆上以及，列方程组求解，的
19、值，可得椭圆标准方程；（2）根据，得到直线与直线斜率的关系，设和的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可以得到点和点横坐标和纵坐标的关系，再利用斜率的定义表示出，化简即可.【详解】（1）根据题意，解得，椭圆的方程为；（2），则直线与直线的斜率之和为0，令，令直线的斜率为，则直线的斜率为，则的方程为， 则，同理：，则，又，则（定值）【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆中的定值问题，解决定值问题，要充分理解题意，直线联立椭圆方程，利用韦达定理化简计算，属于中档题.21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若，函数的极大值为，求的值.【答案】（1）单调减区间为，无增区间；（2）或【
20、解析】分析】（1）求导得到，讨论，两种情况得到函数的单调区间.（2）求导得到，讨论，三种情况，计算得到答案.【详解】（1），则.当时，故，函数单调递减；当时，故，函数单调递减；故函数在上单调递减，所以单调减区间为，无增区间，（2），则.取，则或.当时，根据（1）知不成立；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故极大值为，则，解得，或；当时，函数在上单调递增减，在上单调递增，在上单调递减，故极大值为，故，不成立；综上所述：或.【点睛】本题考查了函数的单调区间，根据极值求参数，意在考查学生对于函数，导数知识的综合运用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
21、分22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.【答案】(1) ， (2) 或.【解析】【分析】（1）利用消去参数化曲线为普通方程，运用，即可化直线极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，因为，所以，直线的直角坐标方程为.（2）点的坐标为，设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），联立直线与
22、曲线的方程得.设对应的参数分别为，则，所以，得，且满足，故直线的倾斜角为或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23. 已知函数.（1）解不等式.（2）记的最小值是，若，且，求的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，然后分类讨论解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式可得，进而得到，则代入条件可得，将变形为，然后展开利用基本不等式可求得最值.【详解】（1），当时，；当时，；所以不等式的解集为：或；（2），所以，即，即，所以，当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，基本不等式的应用，考查了学生转化问题的能力以及计算能力，是中档题.
