1、求数列的前 n 项和 Sn，通常要掌握以下解法：(1)错位相减法：对于形如 cnanbn 的数列求和，其中数列an是等差数列，数列bn是等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和方法是_(2)分段求和法：通过分段，化归为_先写一行，再写一行，但每一项都乘以公比 q，再错位相减，即转化为等比数列求和等差、等比数列求和考点一分段求和示范1 设数列an的通项公式为 an2n31，令 bn|an|，(1)求数列bn的前 15 项和；(2)求数列bn的前 40 项和解析(1)an1an0，an为单调增数列，又 a1510，an的前 15 项为负，S1515(29)151422225
2、，而 bn|an|，所以bn前 15 项和为 225.(2)数列an从 16 项起为正数，bn从第 16 项起与an从第 16 项起和相等即 b16b17b40a16a17a40a16a40225625，bn前 40 项和为 225625850.展示1 已知数列an的前 n 项和 Snn1033n2，(1)求 an；(2)求 Sn 的最大值；(3)令 bn|an|，求数列bn前 n 项和 Tn.【解析】(1)a1S150，当 n2 时，anSnSn13n53，又 n1 时，a150 也符合上式，an3n53.(2)考虑函数 f(x)x1033x2，其图象的对称轴为 x1036 1716，(Sn
3、)maxS17442.(3)由(1)，知，an3n53.当 n17 时，an0；当 n17 时，an17 时，TnS17(a18a19an)2S17Sn.方法点拨：仔细观察数列，可发现数列呈现一段一段的规律，与绝对值有关的一般分为两段，分段求和即可考点二错位相减法求和示范2己知各项为实数的数列an是等比数列且a12，a5a78(a2a4)，数列bn满足：对任意正整数n，有a1b1a2b2anbn(2n2)2n2，(1)求数列an和bn的通项公式；(2)在数列bn的任意相邻两项bk和bk1之间插入k个ak(kN*)后，得到一个新的数列cn，求数列cn的前2 013 项之和提示：626321 95
4、3，636422 016.解析(1)设an公比为q，由a5a78(a2a4)得a1q4(1q2)8a1q(1q2)，又a12，q0,1q20则q38，q2，an2n则题意有a1b12得b11当n2时，anbn(a1b1a2b2anbn)(a1b1a2b2an1bn1)n12n12 n22n2 n,2nbnn(2)显然cn可举如下：1,21,2,22,22,3,23,23,23,4,24,24,2424,5，可见k是数列cn的第mk项，k2时，mkk12(k1)kk12而m62626321953，m63636422016也即C193562，C201663.即Cn前2016项为：S20161632
5、63(122226262)20161222622S20131955120262.展示2 已知数列bn中，b11，点 P(bn，bn1)在直线 xy20 上，数列an的通项为 an，前 n 项和为 Sn 且 an 是 Sn 与 2的等差中项，(1)求数列bn，an的通项公式 bn，an；(2)设 Tnb1a1b2a2bnan，求满足关于 n 的不等式 Tnc 的最小整数 c.【解析】(1)点 P 在直线 xy20 上，则 bnbn120，即 bn1bn2.数列bn是以 2 为公差的等差数列且 b11.bn1(n1)22n1.由条件，得 Sn22an.Sn122an1，即 an12(an1an)a
6、n12an 对任意 nN*成立数列an为等比数列，公比 q2 且由 a1S12(a11)，得 a12.an22n12n.所求通项公式为 an2n，bn2n1.(2)Tn12 322 5232n12n，2Tn132 5222n12n1，得 Tn1212 122 12n1 2n12n12112n1 2n12n3 12n22n12n32n32n3.而 T437162，满足关于 n 的不等式 Tnc 的最小整数 c3.展示3 已知直线 ln：yx 2n与圆 Cn：x2y22ann2(nN*)交于不同两点 An，Bn，其中数列an满足 a11，an114|AnBn|2，(1)求数列an的通项公式；(2)
7、设 bnn3(an2)，求数列bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)圆心到直线的距离 d 2n2 n.圆 Cn 的半径 r 2ann2，12|AnBn|an1，d212|AnBn|2r2，nan12ann2.an12an2.an122(an2)数列an2是以 a123 为首项、以 2 为公比的等比数列an232n1，即 an32n12.(2)由(1)，知bnn3(an2)n3(32n122)n2n1.Sn120221322n2n1，2Sn121222323n2n.两式相减，得 Snn2n(2122232nn1)1n2n212n1121(n1)2n1.点评 本题借助错位相减法求和注意书写规范，
8、要注意项之间的次数关系，符号不能搞错方法点拨：这种方法主要用于求形如anbn的数列的前 n 项和，其中数列an是等差数列，数列bn是等比数列.考点三求和与求通项的综合题示范3已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和且满足a 2nS2n1(nN*)，数列bn满足bn1anan1，Tn为数列bn的前n项和，(1)求a1，d和Tn；(2)若对任意的nN*，关于n的不等式Tnn8(1)n恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由分析(1)利用等差数列的有关公式、性质求解(2)注
9、意分类讨论(3)利用等比数列解m的不等式解析(1)法一 在a2nS2n1中，令n1，n2，得a21S1，a22S3，即a21a1，a1d23a13d，解得a11，d2，an2n1.bn1anan112n12n112(12n112n1)，Tn12(113131512n112n1)n2n1.法二 an是等差数列，a1a2n12anS2n1a1a2n12(2n1)(2n1)an.由a2nS2n1，得a2n(2n1)an，又an0，an2n1，则a11，d2.(Tn求法同法一)(2)当n为偶数时，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式n82n1n2n8n17恒成立2n8n8，等号在n2时取得此时
10、需满足25.当n为奇数时，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式n82n1n2n8n15恒成立2n 8n 是随n的增大而增大，n1时2n 8n 取得最小值6.此时需满足21.综合、可得的取值范围是21.(3)T113，Tmm2m1，Tnn2n1，若T1，Tm，Tn成等比数列，则(m2m1)2 13(n2n1)，即m24m24m1n6n3.法一 由m24m24m1n6n3，可得3n2m24m1m20，即2m24m10，1 62 m1 62.又mN且m1，所以m2，此时n12.因此，当且仅当m2，n12时，数列Tn中的T1，Tm，Tn成等比数列法二 因为n6n3 163n16，故m24m24
11、m116，即2m24m10，1 62 m1 62，(以下同上)【点评】本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力.展示4已知数列an中，a12，对于任意的p，qN*，有apqapaq，(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足an b121b2221b3231b4241(1)n1 bn2n1(nN*)，求数列bn的通项公式；(3)设cn3nbn(nN*)，是否存在实数，当nN*时，cn1cn恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由【解析】(1)取pn，q1，则an1ana1an2
12、.an1an2(nN*)an是公差为2、首项为2的等差数列，an2n.(2)b121b2221b3231b4241(1)n1bn2n1an(n1)，b121 b2221(1)n2 bn12n11an1(n2)，得(1)n1 bn2n12(n2)bn(1)n1(2n12)(n2)当n1时，a1b13，即b16满足上式bn(1)n1(2n12)(nN*)(3)cn3n(1)n1(2n12)，假设存在，使cn1cn(nN*)，则3n1(1)n(2n22)3n(1)n1(2n12).(1)n(2n22)(1)n1(2n12)3n3n123n.(1)n(32n14)23n.当n为正偶数时，(32n14)
13、23n恒成立，3n32n2 max1323n213n max.1323n213n max132322132 914，914.当n为正奇数时，(32n14)23n恒成立3n32n2 min1323n213n min.1323n213n min132321338.38.综上，存在实数 914，38，使 nN*时，cn1cn 恒成立方法点拨：应当注意多种方法的综合，函数观点，不等式方法，特别是分离变量的思想.但数列为离散的函数，这一点又必须与连续函数加以区别分段求和、错位相减求和是数列求和的重要方法，是高考常常考查的重点对象运用这些方法解题时一定要注意细心运算，确保结论正确1(2011山东)已知在等
14、比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列，第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnan(1)nlnan，求数列bn的前2n项和S2n.【解析】(1)由题意，知a12，a26，a318.因为数列an是等比数列，所以公比为3.所以数列an的通项公式an23n1.(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)ln(23n1)23n1(1)nnln 3(1)nln 23，所以S2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2nln23123(1)2n2
15、nln 32132n13 ln 3n32nnln 31.2(2012惠州)己知数列bn满足bn112bn14且 b172，Tn为数列bn的前n项和，(1)求bn的通项公式；(2)如果对于任意nN*，关于n的不等式12k12n2Tn 2n7恒成立，求实数k的取值范围【解析】(1)对任意nN*，都有bn112bn14，所以bn11212bn12.则数列bn12 成等比数列，首项为b1123，公比为12.所以bn12312n1，即bn312n112.(2)因为bn312n112，所以Tn3112 122 12n1 n231 12n112n261 12nn2.因为关于n的不等式12k12n2Tn2n7，化简，得k2n72n对任意nN*恒成立设cn2n72n，则cn1cn2n172n12n72n92n2n1.当n5，cn1cn，数列cn为单调递减数列，当1ncn，数列cn为单调递增数列又 116c4c5 332，所以当n5时，cn取得最大值 332.所以要使k2n72n对任意nN*恒成立，则k 332.
