1、第四节 直接证明与间接证明 基础梳理1.证明是引用一些_来确定某一命题真实性的思维过程证明方法有_和_两类 2.直接证明就是直接从_逐步推得命题成立的证明方法，其一般形式为_本题结论，常用的直接证明方法有_ 3.综合法：从_出发，以_为依据，逐步下推，直到推出要_为止，这种证明 方法称为综合法，即综合法的推证过程：已知条件结论 4.分析法：从_出发，追溯_，逐步上溯，直到_为止，这种证明方法称为分析法，分析法的推证过程是：_.5不 是 直接从原 命题的条 件逐步推 得命题成 立，即不 是_的方法通常称为间接证明，_是一种常用的间接证明方法 6.反证法的证明步骤：(1)_：假设命题的_不成立，即
2、假定原命题的反面为真；(2)_：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出_结果；(3)_：由_结果，断定_不真，从而肯定原结论成立 答案：1.真实的命题 直接证明 间接证明 2.原命题的条件 本题条件、已知定义、已知公理、已知定理 综合法和分析法 3.已知条件 已知的定义、公理、定理 证明的结论 4.问题的结论 导致结论成立的条件 使结论成立的条件和已知条件吻合 结论 已知条件 5.直接证明 反证法 6.(1)反设 结论(2)归谬 矛盾(3)存真 矛盾 反设 基础达标1.(选修2-2 P81练习1改编)要证明不等式 ，在综合法、分析法、反证法、归纳法四种方法中，最合理的方法是_ 3
3、265答案：分析法2.(选修2-2 P83练习3改编)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”的反设为_ 答案：在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角3.下列表述：(1)综合法是执因导果法；(2)综合法是顺推法；(3)分析法是执果索因法；(4)分析法是间接证明；(5)反证法是逆推法其中正确的语句有_个 答案：34.设a，bR，给出下列不等式：(1)lg(1+a2)0；(2)a2+b22(a-b-1)；(3)a2+3ab2b2；(4)其中恒成立的不等式序号是 _.11aabb解析：(1)a=0时不成立；(2)a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20，(2)
4、成立；(3)a=b=0时不成立；(4)a=2，b=1时不成立，所以恒成立的只有(2)答案：(2)题型一 综合法的运用【例1】如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点 求证：(1)MN平面PAD；(2)MNCD.经典例题证明：(1)取PD的中点E，连结AE，NE.N，E分别为PC，PD的中点，EN为PCD的中位线，EN 平行且等于 CD，AM=AB，1212而ABCD为矩形，CDAB，且CD=AB.ENAM，且EN=AM.AENM为平行四边形，MNAE，而 MN平面PAD，AE平面PAD，MN平面PAD.(2)PA矩形ABCD所在平面，CDPA，而CDAD，PA与AD是平
5、面PAD内的两条相交直线，CD平面PAD，而AE平面PAD，AECD.又MNAE，MNCD.变式1-1 如图，AB为O的直径，O在平面内，SA平面，动点P在圆O上移动(不重合于A、B两点)，N是点A在SP上的射影 求证：(1)SPB是直角三角形；(2)AN平面SPB.解析：(1)SA平面APB，SAPB.又P为圆上一点，AB是圆的直，APPB.又SAAP=A，PB平面SAP，PBSP，SPB是直角三角形(2)由(1)知ANPB，又N是点A在SP上的射影，ANSP，又SPPB=P，AN平面SPB.题型二 分析法的运用 【例2】已知a0，证明：221122aaaa证明：要证,只要证因为a 0,所以
6、只要证，即证，只需证，即证而由基本不等式可知成立，所以221122aaaa221122aaaa22221122aaaa22222211114442 2aaaaaaaa22112 aaaa2212,aa2212,aa221122.aaaa变式2-1 求证：2736.证明：270,360,要证2736,只需证 222736,即证 即 即证1418.1418显然成立，92 1492 18,1418,2736.题型三 综合法和分析法的综合运用【例3】ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：113.abbcabc证明：方法一(综合法)：ABC三内角A、B、C成等差数
7、列，B=60.由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos 60，得c2+a2=ac+b2，等式两边同时加上ab+bc得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，等式两边同除以(a+b)(b+c)得，1caabbc113,caabbc113.abbcabc方法二(分析法)：要证即证113,abbcabc3abcabcabbc也就是要证明 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，只需证c2+a2=ac+b2，又ABC三内角A、B、C成等差数列，故B=60，由余弦定理，有b2=c2+a2-2accos 60，即b2=c2+a2-ac，故c2+a2=ac+b2得证 1,caa
8、bbc题型四 反证法的运用【例4】若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+，c=z2-2x+.求证：a，b，c中至少有一个大于0.236证明：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，则a+b+c0，而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+p-3.p-30，且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20，a+b+c0，这与a+b+c0矛盾 a，b，c中至少有一个大于0.236变式4-1 已知a，b，c是一组勾股数，且a2+b2=c2.求证：a，b，c不可能都是奇数 证明：假设a，b，c都是奇数，且a，b，c是一组勾股数，
9、即a2+b2=c2.a，b，c都是奇数，a2，b2，c2也都是奇数，a2+b2是偶数，a2+b2c2，与已知a2+b2=c2相矛盾，a，b，c不可能都是奇数 链接高考(2009辽宁)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD=2，平面ABCD平面DCEF，求直线MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线 知识准备：1.面面垂直的性质定理；2.反证法证明的一般步骤；3.异面直线的定义 解析：(1)取CD的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG.所以MN=222MGNG6(2)假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线
