1、1设直线xt与函数f(x)x2,g(x)ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.C. D.解析:选D.由题意,设|MN|F(t)t2ln t(t0),令F(t)2t0,得t或t(舍去)F(t)在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,故t时,F(t)t2ln t(t0)有极小值,也为最小值即|MN|达到最小值,故选D.2f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立,则a_.解析:当1x0时,a对x1,0)恒成立,而当1x0时,0,则y为1,0)上的增函数,从而的最小值为4.于是a4.当x0时,f(x)0总成立当0x1时,a对x(0,1总成立,而y的导数
2、为y,令y0x,不难判断y在(0,1的最大值为4,a4.于是a4.答案:43已知a为常数,求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值解:f(x)3x23a3(x2a)若a0,则f(x)0,函数f(x)单调递减,所以当x0时,有最大值f(0)0;若a0,则令f(x)0,解得x.由x0,1,则只考虑x的情况01,即0a1时,当x时,f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x(0,)(,1)f(x)0f(x)2a1,即a1时,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递增,当x1时,f(x)有最大值,f(1)3a1.综上,当a0,x0时,f(x)有最大值0;当0a1,x时,f(x)有最大值2a;当a1
3、,x1时,f(x)有最大值3a1.4(2012高考课标全国卷)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)f(x)x10,求k的最大值解:(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0;当x(ln a,)时,f(x)0,所以,f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增(2)由于a1,所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时,(xk)f(x)x10等价于kx(x0)令g(x)x,则g(x)1.由(1)知,函数h(x)exx2在(0,)上单调递增而h(1)0,h(2)0,所以h(x)在(0,)上存在唯一的零点,故g(x)在(0,)上存在唯一的零点设此零点为,则(1,2)当x(0,)时,g(x)0;当x(,)时,g(x)0.所以g(x)在(0,)上的最小值为g()又由g()0,可得e2,所以g()1(2,3)由于式等价于kg(),故整数k的最大值为2.