1、宁夏银川六盘山高级中学2021届高三数学二模试题 文（含解析）一选择题（每小题5分）.1已知集合A1，0，1，2，Bx|0x1，则AB（）A1，1B0，1C0，1，2D1，0，1，22设iz43i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A4B4C4iD4i3单位向量，满足|+|，则与的夹角为（）ABCD4若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）ABCD5今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我
2、国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是（）A2022年我国5G用户规模年增长率最高B2025年我国5G用户数规模最大C从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s（）A10B11C16D177函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0x1时，f（x）log2021x，则（）A1B1CD20218如图，在正方体ABCDABCD
3、中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值是（）ABCD9已知函数，则下列说法错误的是（）Af（x）的最小正周期是Bf（x）的图象关于的对称Cf（x）在，上为减函数Df（x）的一条对称轴是10已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（）ABCD211线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36（）AB
4、CD12已知点A（，0），B（，0），C（1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记PCD，PDC，则（）AB2CD二填空题（每小题5分）.13点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是 14记Sn为正项等比数列an的前n项和，若a1+a296，a316，则S4的值为 15能够说明“若ab，则”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 、 16三棱锥ABCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为 三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23
5、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）在函数f（x）3x22x的图象上，（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn18现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，其中ABD60，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点（1）求证：EF平面CDG；（2）求三棱锥GACD的体积19某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t1，2，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：（
6、1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人参考数据：12.25，（ti）242，（yi）（ti）70参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），回归方程+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，20如图，A，B，M，N为抛物线y22x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yAyB的值；（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数，使得
7、k2k1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由21已知函数f（x）1axcosx（a0）（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在0，的最小值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在花语中，四叶草象征幸运已知在极坐标系下，方程2sin2对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标选修4-5不等式证明选讲23已知：
8、a2+b21，其中a，bR（1）求证：1；（2）若ab0，求（a+b）（a3+b3）的最小值参考答案一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A1，0，1，2，Bx|0x1，则AB（）A1，1B0，1C0，1，2D1，0，1，2解：A1，0，1，2，Bx|0x1，AB0，1故选：B2设iz43i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A4B4C4iD4i解：iz43i，z34i，复数z的虚部为4，故选：A3单位向量，满足|+|，则与的夹角为（）ABCD解：根据题意，设与的夹角为，单位向量，满足|+|，则|+|2|2，变形可得：2
9、+2+242+24，变形可得cos，又由0，则，故选：B4若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）ABCD解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名现要抽调两人前往湖北进行支援，基本事件总数n10，抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数m6，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为P故选：C5今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于
10、下列说法，其中正确的是（）A2022年我国5G用户规模年增长率最高B2025年我国5G用户数规模最大C从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差解：由某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，知：对于A，2022年我国5G用户规模年增长率超过300.0%，达到最高，故A正确；对于B，2029年我国5G用户数达到137205.3万人，规模最大，故B错误；对于C，从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C正确；对于D，这十年我国的5G用户数规模，
11、后5年的平均数大于前5年的平均数，后5年的方差小于前5年的方差，故D错误故选：AC6中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s（）A10B11C16D17解：输入的x2，n2，当输入的a为1时，S1，k1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S4，k2，不满足退出循环的条件；当输入的a为3时，S11，k3，满足退出循环的条件；故输出的S值为11，故选：B7函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0x1时，f（x）log2021x，则（）A1B1CD2021解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当
12、0x1时，f（x）log2021x，则f（）log20211故选：A8如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值是（）ABCD解：取CD的中点M，连结ME，FM，因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FMAD，又ADAD，所以ADFM，则EFM即为异面直线AD与EF所成角，不妨设正方体的棱长为2，则FM2，EM，所以EF，在RtEFM中，cosEFM，所以异面直线AD与EF所成角的余弦值是故选：A9已知函数，则下列说法错误的是（）Af（x）的最小正周期是Bf（x）的图象关于的对称Cf（x）在，上为减函数Df（x）的一条对称轴是解：对于函
13、数，它的最小正周期为，故A正确；令x，求得f（x）0，可得f（x）的图象关于的对称，故B正确；当x，2x0，故f（x）在，上为减函数，故C正确；令x，求得f（x）0，故x 不是 f（x）的一条对称轴，故D错误，故选：D10已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（）ABCD2解：如图所示：双曲线C：的右焦点为F（c，0），双曲线的渐近线方程为yx，则点F到yx的距离AFb，OAa，以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，a2be故选：A11线段的黄金
14、分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2BCAB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在ABC中，ABAC，A36，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36（）ABCD解：如图，设ABAC1，ADx，则CD1x，由AD2CDAC，得x21x，解得x或x（舍）ADcos36故选：B12已知点A（，0），B（，0），C（1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记PCD，PDC，则（）AB2CD解：因为直线PA，PB的斜率之积为，所以，整理得，（x），则C（1，0），D（1，0）为椭圆的焦点，所以故选：C二填空题：本题共
15、4小题，每小题5分，共20分。13点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是2解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：由，解得A（3，3）；由，解得B（1，1）；由，解得C（2，0）；因为直线xy0与直线x+y2互相垂直，且|AB|2，|BC|，所以由点P构成的平面区域的面积是SABC|AB|BC|22故答案为：214记Sn为正项等比数列an的前n项和，若a1+a296，a316，则S4的值为120解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q0，因为a1+a296，所以a1（1+q）96，又a3a1q216，所以，整理可得：6q2q10，解得q，或q（舍去），所以a164，所以
16、S4120故答案为：12015能够说明“若ab，则”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为1、1解：因为ux+在R上单调递增，y，在（，0）和（0，+）上单调递减，于是y的单调递减区间为（，0）和（0，+）所以当a0，b0时，或者当a0，b0时，命题“若ab，则”是真命题，当a0，b0时，ab成立，但0，0，所以，所以命题“若ab，则”是假命题，于是取一组特值满足a0，b0即可，不妨取a1，b1故答案为：1、116三棱锥ABCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为解：由题意画出三棱锥的图形，其中ABBCCDBDAC1，ADa取BC，AD的中点分别为
17、E，F，可知AEBC，DEBC，且AEDEE，BC平面AED，平面ABC平面BCD时，三棱锥ABCD的体积最大，此时ADaAE设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称性知，球心O在线段EF上，OAOCR，又EF，设OFxOE，R2+x2，解得x球的半径R满足R2，三棱锥外接球的表面积为4R24故答案为：三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）在函数f（x）3x22x的图象上，（1）求数列an的通项
18、公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由题意可知：Sn3n22n当n2，anSnSn13n22n3（n1）2+2（n1）6n5又因为a1S11.所以an6n5（2）所以Tn（1+）（1）18现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，其中ABD60，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点（1）求证：EF平面CDG；（2）求三棱锥GACD的体积【解答】（1）证明：根据已知得ADBD，又G为AB的中点，所以DGAB，因为ACBC，G为AB的中点，所以CGAB，又DGCGG，DG平面CDG，CG平面CDG
19、，所以AB平面CDG，又因为ABEF，所以EF平面CDG （2）解：因为CDAD，CDBD，所以CD平面ABD，取BD中点H，连接AH，FH，则AH平面BDC，所以对于三棱锥ABCD的体积，以三角形BCD为底，AH为高，所以，所以 19某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t1，2，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人参考数据：12.25，（ti）24
20、2，（yi）（ti）70参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），回归方程+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，解：（1）由题意可得，所以，故12.251.6674.54.75，所以y关于t的回归方程为1.67t+4.75；（2）第10天接种人数的预报值为2145人，当t12时，的预报值为1.6712+4.7524.79，当t13时，的预报值为1.6713+4.7526.4625，故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人20如图，A，B，M，N为抛物线y22x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）（1）记A，B的纵坐
21、标分别为yA，yB，求yAyB的值；（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数，使得k2k1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）设直线AB的方程为xmy+1，代入y22x得y22my20，则yAyB2，（2）由（1）同理得yMyN2，设直线AN的方程为xny+2，代入y22x得y22ny40，则yAyN4，又k1，同理k2，则2，存在实数2，使得k22k1成立21已知函数f（x）1axcosx（a0）（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在0，的最小值解：（1）当a1时，f（x）1xcosx，f（x）xsinxcosx，
22、又f（0）1得切点（0，1），kf（0）1，所以切线方程为y1x，即x+y10；（2）法一：f（x）1axcosx，f（x）a（xsinxcosx），x0，令g（x）xsinxcosx，g（x）2sinx+xcosx，由，得g（x）0，所以g（x）在上为单调增函数，又，所以g（x）0在上恒成立，即，当a0时，f（x）0，知f（x）在上为减函数，从而，当a0时，f（x）0，知f（x）在上为增函数，从而f（x）minf（0）1；综上，当a0时；当a0时f（x）minf（0）1法二：f（x）1axcosx，f（x）a（xsinxcosx），x0，由，得cosxsinx0，1x0，cosxxsinx0
23、，当a0时，f（x）0知f（x）在上为减函数，从而，当a0时，f（x）0知f（x）在上为增函数，从而f（x）minf（0）1，综上，当a0时；当a0时f（x）minf（0）1（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在花语中，四叶草象征幸运已知在极坐标系下，方程2sin2对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标解：（1）以极点为圆心的单位圆，为1与2sin
24、2联立，得到2sin21，所以sin2，由于，所以，故极坐标为（2）直线，转换为，转换为直角坐标方程为，当点 为 时，取得的最小值为1选修4-5不等式证明选讲23已知：a2+b21，其中a，bR（1）求证：1；（2）若ab0，求（a+b）（a3+b3）的最小值解：（1）证明：根据题意，1|ab|1ab|（ab）2（1ab）2，变形可得：（a21）（1b2）0，又由a2+b21，则a21，b21，则有（a21）（1b2）0，故原不等式成立（2）根据题意，（a+b）（a3+b3）a4+ab3+a3b+b4a4+2+b4（a2+b2）21，当且仅当ab或时，等号成立，则（a+b）（a3+b3）的最小值为1
