1、等差数列前n项和性质的拓展与应用学生用书P108一、问题展示(必修5 P44例2)已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？二、问题解析解：法一：分析：由等差数列的求和公式Snna1d知是四元n，a1，d，Sn的关系知道其中的两个二元关系，可构成方程组求解，从而由S10310，S201 220得解得a14，d6.所以Sn4n63n2n.法二：由等差数列的求和公式Snna1dn2n知，等差数列的前n项和Sn是常数为0，且关于n的二次函数，故设SnAn2Bn.从而由S10310，S201 220，得，解得A3，B1.所以Sn
2、3n2n.三、思想方法1思想：等价转化思想与方程思想Sn3n2n.2探索思路分析归纳总结解答的探索思路3方法结论(1)将原问题变为：已知一个等差数列an的前n项之和为Sn，若S10310，S201 220，则S30的值为_首先想到结论(必修5 P46B组T2)已知数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，求证S6，S12S6，S18S12也成等差数列；(2)(必修5 P68A组T10)在以d为公差的等差数列an中，设S1a1a2an，S2an1an2a2n，S3a2n1a2n2a3n，求证S1，S2，S3也是等差数列，并求其公差结论：教材两个问题反映出等差数列an的前n项之和Sn的同一个重要性质
3、：即Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n(kN*，且k3)成等差数列，且S3n3(S2nSn)所以S303(S20S10)3(1 220310)2 730.其次想到的既是在原问题中，用法一或法二得出Sn3n2n的结果可求出S303302302 730.四、问题拓展以原问题展示为背景，进行拓展拓展1：求证数列是等差数列证明由Sn3n2n，知3n1，所以3(n1)13n13，所以是等差数列一般地，Sn是等差数列an的前n项之和，则也是等差数列拓展2：是否存在常数c，使是等差数列解因为Sn3n2n，所以，当c0时，即得拓展1.当c时，3n，3(n1)3n3.所以是等差数列一般地，Sn是等差数列an的前n项之和，则存在常数c，使得也是等差数列拓展3：求的和解由原题知an6n2，所以.一般地，an是等差数列，且an0，则这正是裂项求和法的统一形式以课本知识为基础，以数学思想和方法为指导，以拓展变型为抓手是高三数学复习行之高效的方式
