1、 高三数学试题答案 第 1 页（共 7 页）2022 届高三联合质量测评 数学试卷 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用签字笔写在答题卡上对应的答题区域。写在草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、考试结束后，请将答题卡按顺序上交。第卷（60 分）一、选择题：本大题共 8 个小题，每题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把正确的答案涂在答题卡上.1【答案】C【分析】解分式不等式求得集合
2、 A，求函数值域求得集合 B，由此求得 AB【详解】30300,30 x xxAxx，211 1,1yxB ，所以01ABxx.故选：C 2【答案】A【分析】根据对数函数的性质求 p 对应 x 的范围，再由充分不必要条件知q：2xa ，进而确定 a 的范围.【详解】由题意，p：02x，而 p 是q 的充分不必要条件，则q：2xa ，2 a，即2a .故选：A.3【答案】C【分析】根据向量垂直关系和数量积运算公式0 xabb，可得关于 x 的方程，解得 x.【详解】由4|3|ab可设|4(0)bt t，则|3at.因为xabb，所以221|344441603xxa bbxtttbttaxb，又0
3、t ，所以4x .故选：C.4【答案】D【分析】由弧田面积求出矢1，设半径为 r，圆心到弧田弦的距离为d，列出方程组求出4,5dr，从而得到cosdAODr，再由2cos2cos1AOBAOD，即可求解.【详解】如图所示，由题意可得6AB ,弧田面积1(2S 弦矢+矢 21)(62矢+矢 27)2平方米，解得矢1，或矢7 （舍去），设半径为 r，圆心到弧田的距离为d，则2219rdrd，解得4,5dr，所以4cos5dAODr，所以2327cos2cos112525AOBAOD .故选：D.5【答案】A【分析】按1x 和1x 两种情况分别列出不等式，再利用函数单调性求解，然后求并集即得.【详解
4、】依题意，当1x 时，由 11()22xf x得：122x，解得0 x，则01x，当1x 时，由 121 log12f xx 得：2log11x ，即 0 x-12，解得13x，则13x，所以不等式 2f x 的解集为0,3.故选：A 6【答案】D【分析】先由三角形面积公式求得4 2c，由余弦定理求得5b，利用正弦定理求外接圆直径.【详解】1sin2121222ABCSacBc ，4 2c，又2222cosbacacB，222214 22 1 4 2252b ，可得5b.设 ABC 的外接圆半径为 R，则2sinbRB，525 2sin 45R.故选：D.7【答案】C【分析】由已知数列可得n
5、为偶数时，22nna，n 为奇数时，212nna，然后逐个分析判断即可【详解】观察此数列，n 为偶数时，22nna，n 为奇数时，212nna，所以此数列的通项公式为22,21,2nnnann 为偶数为奇数，21919-18102a，所以 C 正确 故选：C 8【答案】A【分析】可判断 fx 为偶函数，再根据 fx 的导数可判断 fx 在0,为增函数，根据对数函数的单调性判断出33ln3loglog 2e即可得出大小.【详解】fx 的定义域为 R，且 xxxxxxfxxexef xee，f x为偶函数，当0 x 时，211110 110 xxxxxxexxfxxeeee，所以 fx 在0,为增
6、函数，又33330log 1log 2loglog 31e，ln3ln1e，所以33ln3loglog 2e，则33ln3loglog 2ffef，又333log 2log 2log 0.5fff，则cab.故选：A.二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每题 5 分，共计 20 分.在每题给出的选项中，有多项符合要 高三数学试题答案 第 2 页（共 7 页）求，全部选对得 5 分，选对但选不全得 2 分，有选错的得 0 分.并把正确的答案涂在答题卡上.9【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】A.当1,1ab 时，11ab，故错误；B.因为01a，所以2aa，故正确；C.因为
7、0ab且0c，所以0a bcb acab cbcbacbcacaa aca aca ac故 bcbaca，所以 C 正确；D.因为222221110ababab，故正确；故选：BCD10【答案】ABD【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案【详解】解：函数()sin()f xAx（其中0A，0，0)的图象关于点5(,0)12M成中心对称，且与点 M 相邻的一个最低点为2(,3)3N，则2543124T，T，进一步解得22，2A，故 A 正确 由于函数()sin()f xAx（其中0A，0，0)的图象关于点5(,0
8、)12M成中心对称，52()12kkZ，解得56k ，由于0，当1k 时，6()3sin(2)6f xx 对于 B：当6x时，()3sin623f，故 B 正确；对于 C：由26xk，kZ，解得212kx，kZ，当0k 时，对称中心为：,012，故 C 不正确；对于 D：由于：351212x，则：0266x，函数()f x 的图象与1y 有 6 个交点 根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x、2x、3x、4x、5x、6x，由 2262xk，kZ，解得6xk，kZ，所以12263xx，432263xx，5622463xx，所以156423247333xxxxxx 所以函数的图象的所有交点的横坐
9、标之和为7，故 D 正确 正确的判断是 ABD 故选：ABD 11【答案】AB【分析】设第 n 天走 an 里路，则an是首项为 a1，公比为12q 的等比数列，由 S6378 求得首项，再逐一分析四个选项的答案【详解】设此人第 n 天走 an 里路，则an是首项为 a1，公比为12q 的等比数列，由等比数列前 n 项和公式得：1661(1)2378112aS，解得 a1192，A：21192962a，故此人第二天走了九十六里路，正确；B：后五天所走的路程为378192186里，则第一天比后五天多走192 1866里，正确；C：31192484a，而 4813788，错误；D：45611119
10、2()4281632aaa，不正确 故选：AB 12【答案】ACD【分析】对 A，根据 212 f xxfxx，10f，求 2ln xfxx，求出 fx，根据极值定义进行判断；对 B，根据 f x 单调性和零点定义，结合图象判断；对 C，要保证 21f xkx在0,上恒成立，即22maxln1xkxx，通过构造函数求其最值，进行判断；对 D，根据 f x 单调性，和对数比较大小，进行判断.【详解】对 A，212 f xxfxx，且0,x 可得：212xf xx fxx 可得：21x fxx 故 2lnx f xxc(c 为常数)又 10f 可得：211ln1fc 求得：0c 故：2lnx f
11、xx 整理可得：2ln xfxx，0,x 24412ln2 ln()xxxxxxxfxxx 43(1 2ln)1 2lnxxxxx 高三数学试题答案 第 3 页（共 7 页）当1 2ln0 x，即12lnlnxe 解得：0 xe，()0fx，此时()f x 单调递增 当1 2ln0 x，即12lnlnxe 解得：xe，()0fx，当1 2ln0 x，即12lnlnxe 解得：xe，()0fx，此时()f x 单调递减 xe，f x 取得极大值，ln1()2efeee，故 A 说法正确；对 B，0 x，()0f x xe，1()2fee x，()0f x 画出 f x 草图：如图 根据图象可知：
12、f x 只有一个零点，故 B 说法不正确；对 C，要保证 21f xkx在0,上恒成立 即：保证 21fxkx在0,上恒成立 2ln xfxx，可得22ln1xkxx在0,上恒成立 故：只需22maxln1xkxx 令21 ln()xG xx 31 2ln()xG xx 当120 xe时，31 2ln()0 xG xx 当12xe时，31 2ln()0 xG xx 当12xe时，31 2ln()0 xG xx 即1122max2121ln()2eeG xG ee 22maxln21exkxx,故 C 说法正确；对 D，根据0 xe，()f x 单调递增，xe，()f x 单调递减，12e，可得
13、 12ff 又ln2ln 2ln32=,3243ff，ln 22=2,4ff 故：1223ffff，故 D 说法正确.综上所述，正确的说法是：ACD 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性和极值，及其最值问题，解题关键是掌握导数求极值的方法和构造函数解决不等式恒成立的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于难题.第 II 卷（90 分）三、填空题：本大题共 4 个小题，每题 5 分，共计 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13【答案】6【分析】根据给定条件求出向量2ab的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因(3,1),(0,1)ab，则22(3,1)(0,1)
14、(2 3,1)ab，又因(,3),2ckab与c 平行，于是得2 330k，解得6k，所以实数 k 6.故答案为：6 14【答案】32【分析】根据函数的对称性，只需求出()f x 在对称区间上的最大值即可求解.【详解】由233()sin()2cos1sin()cossincos4684642424xxxxxxf x 33sin()4x，0,23关于1x 的对称区间为 4,23，当4,23x时，0436x，10sin()432x，2sin(3()3)43xf x，2()sin()2cos1468xxf x 的图象与函数 yg x的图象关于直线1x 对称，g x的最大值为32，故答案为：32 15
15、【答案】6【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根()(31)0f afb得31ab，最后根据基本不等式求最值.【详解】因为210 xx 恒成立，所以函数 f x 的定义域为 R，221log1f xxx，22log1fxxx，所以 f xfx，f x 为奇函数，又22()log(1)f xxx 在(,0)单调递减，所以()f x 在(0,)单调递减，()f x 在0 x 出连续，22()log(1)f xxx 在(,0)单调递减，所以 f x 在 R 上单调递减，320f afb，23f afb，2 3ab，即32ab，所以311311 93622baabababab93336baab，当且仅
16、当 9baab，即12a，16b 时，等号成立，所以 31ab的最小值为 6.故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；高三数学试题答案 第 4 页（共 7 页）（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16【答案】1,10,1e.【详解】数形结合，由直线1ya x与曲线 yf x的位置关系可得当1,10,1ae
17、 时有两个交点，即函数 yg x恰有两个零点.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.四、解答题。本大题共 6 个小题，共计 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17【答案】答案见解析【分析】若选择，即()f x 的图像关于直线56x对称，则可推出()4sin(4)6f xxa，进而利用正弦型函数的性质，求得()f x 的最大值4a，从而得到0a，不符合题意.若选
18、择，可得()4sin 36f xxa，进而求得()f x 的最大值62a，从而得到462a，符合题意.若选择，可得()4sin6f xxa，进而求得()f x 的最大值2 2a，从而得到42 2a，符合题意.【详解】解：由于函数()f x 的最小正周期不小于 3，所以 23，所以16，*N，2 分 若选择，即()f x 的图像关于直线56x对称，有 5()662kkZ，解得62()55kkZ，4 分 由于16，*N，kZ，所以3k ，4，5 分 此时，()4sin(4)6f xxa，由0,12x，得 4,66 2x，6 分 因此当462x，即12x时，()f x 取得最大值4a，8 分 令 4
19、4a，解得0a，不符合题意.9 分 故不存在正实数 a，使得函数()f x 在0,12 上有最大值 410 分 若选择，即()f x 的图象关于点 5,018 对称，则有 5()186kkZ，解得183()55kkZ，4 分 由于16，*N，kZ，所以1k ，3.5 分 此时，()4sin 3.6f xxa 由0,12x ，得53,66 12x ，6 分 因此当53612x，即12x时，()f x 取得最大值54sin6212aa，8 分 令624a，解得462a，符合题意.9 分 故存在正实数 a，使得函数()f x 在 0,12 上有最大值 4；10 分 若选择，即()f x 在,4 4
20、上单调递增，则有2,462()2462kkZk，解得88,3()48,3kkZk，由于16，*N，kZ，所以0k，1.4 分 此时，()4sin.6f xxa 由0,12x ，得,66 4x ，6 分 高三数学试题答案 第 5 页（共 7 页）因此当64x，即12x时，()f x 取得最大值2 2a，8 分 令 2 24a，解得42 2a，符合题意.9 分 故存在正实数42 2a，使得函数()f x 在 0,12 上有最大值 410 分 18【答案】（1）证明见解析；（2）254543nnnT【分析】（1）由1n 可求得12a，令2n，由1222nnSna 可得出12222nnSna-，两式作
21、差得出132nnaa，再利用等比数列的定义可证明出数列 nb是等比数列；（2）由（1）可得13nnnc，利用错位相减法可求得nT，求出nT 的取值范围，进而可得出实数k 的取值范围.【详解】（1）证明：对任意的nN，1222nnSna，28a，1n 时，122226Sa，解得12a，1 分 2n 时，因为1222nnSna，可得12222nnSna-，两式相减可得122nnnaaa，即有132nnaa，可得1131nnaa ，3 分 因为1nnba，则111nnba，1113ba 因为，2219ba，所以21b=3b，4 分 对任意的nN，0nb，所以13nnbb，5 分 因此，nb是首项和公
22、比均为3的等比数列.6 分（2）由（1）可得13 33nnnb，7 分 113nnnnncb，8 分 2334133332nnnT，231123133333nnnnnT，9 分 两式相减可得2121111112211121525331333333362 313nnnnnnnnnT，11 分 化简可得254543nnnT.12 分 19【答案】选择见解析；6C，13S .【分析】由正弦定理可得1sin2C，求出角 C,利用面积公式1sin2ABCSabC求解；【详解】因为 sinsin4 sinsinbA aBcAB，所以由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB，2
23、 分 即2sinsin4sinsinsinBACAB，所以1sin2C，3 分 因为0,C，所以6C 或56C.5 分 若56C，由1+3sinsin4AB，而6A，6B，从而1sinsin4AB，矛盾，舍去.故6C，7 分 接下来求 ABC 的面积S.法一：设 ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理得224sinsin 6cRC，2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB，9 分 16sinsin4(13)abAB，11 分 111sin4(13)13222ABCSabC.12 分 法二：由（1）得3cos2C，即3coscossinsin2ABAB，1+3sinsin4AB，
24、13coscos4AB，1cos()coscossinsin2ABABAB，5 5(,)66AB，3AB或3BA，当3AB时，又56AB，712A，4B，9 分 由正弦定理得2sinsin42 2sinsin 6cBbC，11 分 1172123sin2 22sin2 2()1322122222ABCSbcA，当3BA时，同理可得13ABCS，故 ABC 的面积为13.12 分【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题 高三数学试题答案 第 6 页（共 7 页）20【答案】（1）f x 的单调递减区间为0,e，极小值为 2；（2）1,4
25、.【分析】（1）由题干条件可得切线的斜率为 0，即 e0f，可得ek，代入导函数，分析即得解；（2）构造函数 h xf xx，题干条件可转化为 h x 在0,上单调递减，求导，转化为 2110kh xxx 在0,上恒成立，参变分离即得解【详解】（l）210kfxxxx.曲线 yf x在点 e,ef处的切线与直线30y 平行，此切线的斜率为 0，即 e0f，有210eek，解得ek，.2 分 221ee0 xfxxxxx，由 0fx，得0ex，由 0fx，得ex，.3 分 f x 在0,e 上单调递减，在e,上单调递增，.4 分 当ex 时，f x 取得极小值 eeln e2ef.故 f x 的
26、极小值为 2.6 分（2）对任意210 xx，1212f xf xxx恒成立等价于对任意210 xx，1122f xxf xx恒成立，.7 分 设 ln0kh xf xxxx xx，.8 分 则对任意210 xx，1122f xxf xx恒成立等价于 h x 在0,上单调递减，2110kh xxx 在0,上恒成立，.9 分 221124kxxx 在0,上恒成立，.11 分 14k，故实数k 的取值范围是 1,4.12 分 21【答案】（1）1nnaan，(1)2nn na；（2）38.【分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列 na的通项公式.（2）根据数列 na的通项公式带入
27、*123111223nnbbbbann N求出列 nb的通项公式，从而求出数列 nc的通项公式，再利用裂项相消即可求出nT 即可计算实数 的取值范围.【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：11a ，2n 时，1nnaan2 分 所以有 112nnnnnaaaaa211(1)aaann(1)212n n 故(1)2nn na4 分（2）数列 nb满足212311123nbbbbnnn，当1n 时，12b，5 分 当2n 时，1231111231nbbbbn 2(1)(1)nn，得：12nbnn，故：22nbn，6 分 数列 nc满足：22121214(1)nnnnncb bnn221114
28、(1)nn，8 分 则：2222211111114223(1)nTnn 21114(1)n，9 分 由于*1nnTnnN恒成立，故：21114(1)1nnn，整理得：244nn，10 分 因为21114441nynn在*n N 上单调递减，11 分 故当1n 时，max213448nn，所以38 12 分 22【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导函数，讨论参数a 的取值范围即可求解单调区间；（2）解法一：先证：122xxa，即证：122xxa，令函数2()()F xf xfxa，通过求导判断单调性可证明122xxa，从而得21222122222xxxxea；解法二：由
29、lnln()0 x axaf xaee，令()lnlng xxaxa利用导数判断单调性，再构造2()()G xg xgxa，求导分析单调性即可证明122xxa，从而有21222122222xxxxea【详解】（1）解：()(1)axaxaxfxeax eeax1 分 aR，0a 时，1()(1)0axfxeaxxa，1()(1)0axfxeaxxa 0a 时，增区间为：1,a，减区间为：1,a；2 分 0a 时，()(1)10axfxeax，0a 时，增区间为：(,)；3 分 高三数学试题答案 第 7 页（共 7 页）0a 时，1()(1)0axfxeaxxa，1()(1)0axfxeaxxa
30、，0a 时，增区间为：1,a，减区间为：1,a；4 分 综上：0a 当时，增区间为：1,a，减区间为：1,a；当0a 时，增区间为：(,)；当0a 时，增区间为：1,a，减区间为：1,a；5 分（2）解法一：由（1）知，0a 时，增区间为：1,a，减区间为：1,a；且1xa时，()0f x，11()fxfaae极大值，函数()yf x的大致图像如下图所示 因为0a 时，函数()yf xa有两个零点1x，2x，所以1aae，即21ae，6 分 不妨设12xx，则1210 xxa；先证：122xxa，即证：122xxa7 分 因为11xa，所以221xaa，又()yf x在1,a单调递增，所以即证
31、：122f xfxa 又 12f xf x，所以即证：222f xfxa，21xa 令函数2()()F xf xfxa，1,xa，8 分 则222()2()(1)1(1)axaxaxaxF xeaxeaxaxeeafxfxa 因为1xa，所以2axax，10ax，故2()(1)0axaxF xaxee 函数2()()F xf xfxa 在 1,a单调递增，10 分 所以1()0F xFa 因为21xa，所以，222f xfxa，即122xxa11 分 所以21222122222xxxxea12 分（2）解法二：因为0a 时，函数()yf xa有两个零点1x，2x，则两个零点必为正实数，lnln
32、()0 x axaf xaee（0 x）等价于lnlnxaxa有两个正实数解；6 分 令()lnlng xxaxa（0 x）则1()g xax（0 x），()g x 在10,a 单调递增，在 1,a单调递减，且1210 xxa 令2()()G xg xgxa，1,xa，8 分 则1122()22021(2)G xaaaaxxaxxaa 所以()G x 在 1,a单调递增，9 分 1()0G xG a 又21xa，故 222g xgxa，21,xa 又 12g xg x，所以 122g xgxa，10 分 又1210 xxa，所以1x，2210,xaa，又()g x 在10,a 单调递增，所以122xxa 11 分 所以21222122222xxxxea12 分【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明122xxa，再结合均值不等式求得结果
