1、8.3圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为(，)，由已知得即 解得 D0，E2，F9，所求圆的方程为x2y22y90.方法二：经过A(1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.令x0，y1，圆心为(0,1)，r ，圆的方程为x2(y1)210.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P(4，2)、
2、Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入得令x0，由得y2EyF0，由已知|y1y2|4，其中y1、y2是方程的两根.所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48，解、组成的方程组，得D2，E0，F12或D10，E8，F4，故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足(x2)2y23.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)(x4)2(y3)2的最大值和最小值.【解析】(1)，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最
3、值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设k，ykx，kxy0.由，得k，所以的最大值为，的最小值为.(2)令x2cos ，ysin ，0,2).所以yxsin cos 2sin()2，当sin()1时，yx的最小值为2.(3)(x4)2(y3)2是圆上点与点(4,3)的距离的平方，因为圆心为A(2,0)，B(4,3)，连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.|AB|，则|BC|，|BD|，所以(x4)2(y3)2的最大值为()2，最小值为()2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：形如U形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如(xa)2(yb)2形
4、式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x，y满足x2y23(y0).试求m及b2xy的取值范围.【解析】如图，m可看作半圆x2y23(y0)上的点与定点A(3，1)连线的斜率，b可以看作过半圆x2y23(y0)上的点且斜率为2的直线的纵截距.由图易得m，2b.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.【解析】(1)令x0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，由题意b0
5、，且0，解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0，得y2EyF0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xy2x0y0b(1y0)0，(*)为使(*)式对所有满足b1(b0)的b都成立，必须有1y00，结合(*)式得xy2x0y00，解得或经检验知，点(0,1)，(2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.【点拨】本题(2)的解答用到了代数法求
6、过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.(3)的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】(2010安徽)动点A(x，y)在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t0时，点A的坐标是(，)，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A.0,1 B.1,7C.7,12 D. 0,1和7,12【解析】选D.由题意知角速度为，故可得ysin(t),0t12，t或t，所以0t1或7t12.所以单调递增区间为0,1和7,12.总结提高1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.
