1、12.10离散型随机变量的期望与方差典例精析题型一期望与方差的性质的应用【例1】设随机变量的分布列为P(k)(k1,2,3,4,5,6)，求E()，E(23)和D()，D(23).【解析】E()x1p1x2p2x6p63.5，E(23)2E()310，D()(x1E()2p1(x2E()2p2(x6E()2p6，D(23)4D().【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4).现从袋中任取一球，表示所取球的标号.(1)求的分布列、
2、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值.【解析】(1)的分布列为：01234P所以E()012341.5，D()(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由D()a2D()，得a22.7511，即a2.又E()aE()b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.所以或题型二期望与方差在风险决策中的应用【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012P012P试对这两名工人的技术水平进行比较.【解析】工人甲生产出的次品数的期望和方差分别为
3、：E()0120.7，D()(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出的次品数的期望和方差分别为：E()0120.7，D()(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E()E()知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D()D()，可见乙的技术比较稳定.【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定. 【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是.【解析】利用方
4、案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：500.25650.30260.4543.7；700.25260.30160.4532.5；200.25520.30780.4545.7；980.25820.30100.4544.6.故选A3.题型三离散型随机变量分布列综合问题【例3】(2013浙江模拟)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量为获得k(k1,2,3)等奖
5、的折扣率，求随机变量的分布列及期望E()；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(2).【解析】(1)由题意得的分布列为50%70%90%p则E()50%70%90%.(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为.由题意得(3，)，则P(2)C()2(1).【变式训练3】(2012北京市东城区模拟)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为.(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为，求随机变量的分布列及期望E().【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有CP3，解得P.所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P3(2)C()2.(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.P(0)C()3；P(1)C()3C()2；P(2)C()2C()2；P(3)C()2C()3；P(4)C()3.所以的分布列为01234PE()01234.总结提高1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均； E()是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E()是不变的，它描述取值的平均状态.2.方差D()表示随机变量对E()的平均偏离程度，统计中常用标准差描述的分散程度.
