1、模块复习提升课三 概 率1两种关系(1)互斥与对立的关系：互斥事件与对立事件的关系是互斥不一定对立，但对立一定互斥(2)频率与概率的关系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率是随机的，而概率是一个确定的常数2概率的五个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率：P(A)1.(3)不可能事件的概率：P(A)0.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件 A 与事件 B 互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率：若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件，则P(AB)1，P(A)1P(B)3古典概型(1)基本特征：有限性、
2、等可能性(2)计算公式：P(A)mn(其中 n 为试验的基本事件总数，m 为事件 A 包含的基本事件数)4几何概型(1)几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性(2)几何概型的概率计算公式：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）.1随机事件概率中的易误点(1)对题干中叙述的事件分类不清，即对较复杂的问题不能正确的转化为几个简单的互斥事件或转化为某事件的对立事件，使问题无法求解(2)对“有放回”和“无放回”抽取分辨不清，具体理解应为：“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的
3、总数是一样的“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少 1.(3)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误2几何概型中的易失误点(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概型(2)解题时要明确几何概型中构成事件 A 的区域是长度、面积还是体积主题 1 互斥事件、对立事件的概率及应用 袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是 512，得到黄球或绿球的概
4、率为 512，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少【解】记“得到红球”为事件 A，“得到黑球”为事件 B，“得到黄球”为事件 C，“得到绿球”为事件 D，事件 A、B、C、D 显然彼此互斥，由题意可知：P(A)13 P(BC)P(B)P(C)512，P(CD)P(C)P(D)512.由事件 A 和事件 BCD 是对立事件可得 P(A)1P(BCD)1P(B)P(C)P(D)，即 P(B)P(C)P(D)1P(A)11323.联立可得 P(B)14，P(C)16，P(D)14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.(1)互斥事件与对立事件的概率计算若事件 A1，A
5、2，An 彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)设事件 A 的对立事件是 A，则 P(A)1P(A)(2)求复杂事件的概率常用的两种方法将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 先求其对立事件的概率，然后再应用公式 P(A)1P(A)求解 受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为 3年，乙品牌车保修期为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取 50 辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下：品牌甲 乙 首次出现故障的时间 x(年)0 x1 1x2 23
6、0 x1 12 轿车数量(辆)213442345(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率(注：将频率视为概率)解：(1)设 A，B，C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第 1年，第 2 年和第 3 年之内，设 D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为 A，B，C 是彼此互斥的，其概率分别为 P(A)250 125，P(B)150，P(C)350，所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)325，即首次出现故障发生在保修期内的概率为 325.(2)乙品牌轿车首次
7、出现故障发生在保修期内的概率为2350 110.主题 2 古典概型、几何概型 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1女，乙校 1 男 2 女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名教师来自同一学校的概率【解】甲校两男教师分别用 A、B 表示，女教师用 C 表示；乙校男教师用 D 表示，两女教师分别用 E、F 表示(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C
8、，F)，共 9 种 从中选出的 2 名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共 4 种所以选出的 2 名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种 从中选出的 2 名教师来自同一学校的结果为：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 6种 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 61525.
9、(1)求解古典概型概率“四步”法(2)几何概型问题的解题方法 由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解；在解题时要准确把握，要把实际问题做合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题 在单位正方形 ABCD 内(包括边界)任取一点M，求：(1)AMB 的面积不小于14的概率；(2)AM 的长度不小于 1 的概率解：(1)如图所示，取 AD 的中点 E，作 EFAB 交 BC 于点 F，则 EF 把正方形 ABCD 分为面积相等的两部分当点 M 落在四边形 CDEF 内(包括边界)时，A
10、MB 的面积不小于14，由几何概型中概率的计算公式知，所求概率 P12.(2)如图所示，以 A 为圆心，1 为半径画弧BD，当点 M 落在图中阴影部分时(包括边界)AM 的长度不小于 1，由几何概型中概率的计算公式知，AM 的长度不小于 1 的概率为 PS正方形ABCDS扇形ABDS正方形ABCD141 14.主题 3 概率与统计的综合问题(2016高考全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在
11、一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345 频数605030302010(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”求P(A)的估计值；(2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值【解】(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 6050200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030
12、200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得 保费 0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a 频率0.300.250.150.150.100.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0 85a 0.30 a0.25 1.25a0.15 1.5a0.15 1.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.解决概率与统计综合问题应注意的问题在解决此类综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同
13、学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 cm179 cm 之间，而乙班身高集中于 170 cm179 cm 之间因此乙班平均身高高于甲班(2)x 110(158162163168168170171179179182)170(cm)甲班的样本方差 s2 110(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(1681
14、70)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.2(cm2)(3)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181，173)，(181，176)，(181，178)，(181，179)，(179，173)，(179，176)，(179，178)，(178，173)，(178，176)，(176，173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件：(181，176)，(179，176)，(178，176)，(176，173)，所以 P(A)41025.主
15、题 4 概率问题中的数学思想方法(1)在AOB 中，已知AOB60，OA2，OB5，在线段 OB 上(异于端点)任取一点 C，则AOC 为钝角三角形的概率为()A0.6B0.4C0.2D0.1(2)一个箱子内有 9 张票，其号码分别为 1，2，8，9，从中任取 2 张，其号码至少有一个为奇数的概率是_【解析】(1)试验的所有结果对应的区域是一条长度为 5 的线段，AOC 为钝角三角形包括两种情况：第一种是ACO 为钝角，这种情况的边界是ACO90，此时 OC1，所以要使ACO 为钝角，需满足 0OC1.第二种是OAC 为钝角，这种情况的边界是OAC90，此时 OC4，所以要使OAC 为钝角，需
16、满足 4OC5.综上可知，若AOC 为钝角三角形，则 0OC1 或 4OC5，故所求概率 P250.4.(2)事件“号码至少有一个为奇数”的对立事件是“号码全部是偶数”，“号码全部是偶数”包含的基本事件数为 6，即“号码全部是偶数”的概率 P1 63616，故事件“号码至少有一个为奇数”的概率 P1P111656.【答案】(1)B(2)56(1)数形结合思想 在判断事件之间的关系时，利用 Venn 图、平面区域或涉及的几何图形等将问题直观形象地表示出来，有助于准确捕捉到解题信息(如跟踪训练 1)(2)分类讨论思想 按照一定的标准在比较的基础上，将某一问题划分为若干个既有联系又有区别的几部分，然
17、后分类解决(如本例(1)(3)函数方程思想 利用概率的性质构造含有待求事件概率为未知数(或变量)的方程(函数)，进而求解(如跟踪训练 2)(4)转化与化归思想 将较复杂的事件转化为几个互斥事件的和或转化为某一事件的对立事件，使问题得解(如本例(2)1.某学校成立了三个社团，共有 60 人参加，A 社团有 39 人，B 社团有 33 人，C 社团有 32 人，只参加 A，B 社团的有 10 人，只参加 A，C 社团的有 11 人，三个社团都参加的有 8 人，随机选取一个成员，则(1)该成员至少参加两个社团的概率是多少？(2)该成员参加不超过两个社团的概率是多少？解：由题可得，只参加 A 社团的人
18、数为 391081110.设只参加 B 社团的有 x 人，只参加 C 社团的有 y 人，只参加 B，C 社团的有 z 人，则xyz601010811xz33108yz32811，解得x8y6z7，综上，可得参加各社团人数情况如图所示 若记“该成员至少参加两个社团”为事件 D，“该成员参加不超过两个社团”为事件 E，则有(1)该成员至少参加两个社团的概率为 P(D)7810116035.(2)该 成 员 参 加 不 超 过 两 个 社 团 的 概 率 为P(E)681071011601315.2有 3 个两两互斥的事件 A，B，C，已知事件 ABC 是必然事件，事件 A 的概率是事件 B 的概率的 2 倍，事件 C 的概率比事件 B 的概率大 0.2，求事件 A，B，C 的概率解：设 P(B)x，则 P(A)2P(B)2x，P(C)P(B)0.2x0.2.又 1P(ABC)P(A)P(B)P(C)2xx(x0.2)4x0.2.所以 x0.2，即 P(A)0.4，P(B)0.2，P(C)0.4.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
