1、课时提升作业(十)函数的单调性(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1x2,使f(x1)0B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.f(a)f(x1)f(x2)0【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x10,则f(-3)与f(-)的大小关系是.【解析】由(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3-,所以f(-3)f(-).答案:f(-3)f(-)8.(2015
2、呼和浩特高一检测)已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2f(x)2的解集为.【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2f(x)2可化为f(0)f(x)f(-3),又f(x)在R上是减函数,因此-3x0.答案:(-3,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图
3、象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.由图(1)可知,在1,4)和4,6)内,y=f(x)是单调递增的.由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.10.(2015烟台高一检测)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)在(1,+)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.【解析】(1)由x2-10,得x1,所以函数f(x)=的定义域为xR|x1.(2)函数f(x)=在(1,+)上是减函数.证明:任取x1,x2(1,+),且x1x11,所以-10,-10,x2-
4、x10,x2+x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)=在(1,+)上是减函数.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x(-,-2时是减函数,x-2,+)时是增函数,则f(1)等于()A.-3B.13C.7D.由m而定的常数【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.2.(2015开封高一检测)设函数f(x)在(-,+)上为减函数,则()A.f(a)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)0,所以a2+1a,又
5、因为函数f(x)在(-,+)上为减函数,所以f(a2+1)f(a).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015南宁高一检测)函数y=在(-2,+)上为增函数,则a的取值范围是.【解析】因为y=1-,所以函数的单调增区间为(-,-a),(-a,+),要使函数在(-2,+)上为增函数,只要-2-a,即a2.答案:a2【拓展延伸】单调性中的参数问题(1)根据函数的单调性研究参数的取值范围问题,往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式,此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围来推出参数的范围.(2)含参数的问题经常需分类讨论,要求有很强的观察力,同时要特别注意定义域的限制.4.(2
6、015三明高一检测)f(x)是定义在0,+)上的减函数,则不等式f(x)f(-2x+8)的解集是.【解析】依题意,得不等式组解得x4.答案:【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).求证:函数F(x)在R上是单调增函数.【证明】任取x1,x2R,且x1x2,因为函数f(x)是R上的单调增函数,所以f(x1)f(2-x2),即f(x1)-f(x2)0,所以F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(2-x1)-f(x2)-f(2-x2)=f(x1)-f(x2)+f(2-x2)-f(2-x1)0,即F(x1)-F(x2)0,所以F(x1)0时,f(x)2.(1)证明f(x)在R上是增函数.(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)8.【解析】(1)对任意x1,x2R,且x10,所以f(x2-x1)2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)0,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,由f(t-1)8得f(t-1)f(2).因为f(x)在R上为增函数,所以t-12,即t3,故不等式的解集为t|t3.
