1、课时分层作业(十九)空间向量与垂直关系(建议用时：60分钟)一、选择题1设直线l1的方向向量为a(2,1，2)，直线l2的方向向量为b(2,2，m)，若l1l2，则m等于()A1B2C3 D3Dl1l2ab2212(2)m0m32已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A，4 B，4C，2,4 D4，15B，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得3已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面的一个法向量为()A(1，1,1) B(2，1,1)C(2,1,1) D(1,1，1)C显然a与b不平行，设平面的
2、法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x2，y1，n(2,1,1)4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点D的坐标为()A(1,1,1)B(1，1，1)或CD(1,1,1)或D设D(x，y，z)，则(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，(1,0,1)，(1，1,0)，(0，1,1)又xz0，xy0，(x1)2y2z22，联立得xyz1或xyz，所以点D的坐标为(1,1,1)或故选D5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，A
3、C之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面B建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)，E，F，0，0，EFA1D，EFAC二、填空题6已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号)2(1)(1)2(4)(1)2240，则，则ABAP4(1)2200，则，则APAD又ABADA，AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向
4、量7已知a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对0ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直8已知空间三点A(1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_设M(x，y，z)，(1，1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意，得，x，y，z1，点M的坐标为三、解答题9如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，垂足为A，ABAD于A
5、，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证AECD解以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，设PAABBC1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)ABC60，ABC为正三角形C，E设D(0，y,0)，则，由ACCD得0，即y，则D，又，0，即AECD10如图所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD求证：平面DEA平面ECA证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)所以(，1，2)，(0,0,2)，(0,2，1)分别设平面CEA与平
6、面DEA的法向量是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1(1，0)，n2(，1,2)，因为n1n20，所以n1n2所以平面DEA平面ECA1两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则yz的值是()A3 B6C6 D12B(3，1，z)，v(2，y,1)分别为，的法向量且，v，即v0，6yz0yz62如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1B
7、DB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直D以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2,1，2)
8、与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D3如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_垂直以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，平面PBC的一个法向量n(0,1,1)，n，n，EF平面PBC4如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DFa或2a以B为坐标原点，BA、BC、BB1分
9、别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)则B(0,0,0)，B1(0,0,3a)，D，C(0，a,0)，设F(a,0，m)，则(a，a，m)，(a,0，m3a)CF平面B1DF，CFB1F，CFB1D，即解得m2a或a5如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC3，G是PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且BEECPFFB12求证：(1)平面GEF平面PBC；(2)EG与直线PG和BC都垂直证明(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是(0，1，1)，(1，1，1)设平面GEF的法向量为n(x，y，z)，则即可取n(0,1，1)显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量又n0，n，即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，平面GEF平面PBC(2)由(1)，知(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)，0，0，EGPG，EGBC，EG与直线PG和BC都垂直
