1、宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）满分：120分 考试时间：120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷一、选择题（每小题4分，共48分）1. 如图，长方体中，则线段的长是（ ）A. B. C. 28D. 【答案】A【解析】【分析】利用体对角线公式直接计算即可.【详解】，故选A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.2. 若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】【分析】根据异面直线所成角判断.【详解】因为、为异面直
2、线，所以、所成的角为锐角或直角，因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，所以与的位置关系是异面或相交，故选：D3. 底面直径和高都是4的圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件先求出底面积，再利用圆柱的体积公式计算即得结果.【详解】依题意，圆柱底面半径为r=2，高为h=4，故底面面积为，圆柱的体积为.故选：C.4. 如图所示的直观图的平面图形中，则原四边形的面积( )A. B. C. 12D. 10【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直观图绘出原图，并根据直观图的各边长得出原图的各边长，最后根据梯形的面积公式即可得出结果【详解】如图，根据直观图
3、的相关性质可绘出原图，其中，故原四边形的面积为，故选C【点睛】本题考查通过直观图绘出原图，直观图图中与轴平行的直线在原图中长度不变，直观图图中与轴平行的直线为原图中长度的一半，考查绘图能力，是简单题5. 若圆锥的横截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，代入面积公式可求出侧面积【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为，则该圆锥的侧面积为.故答案为B.【点睛】本题考查了圆锥的性质，考查了圆锥的侧面积，考查了学生的计算能力，属于基础题6. 如图，长方体中，分别是，的
4、中点，则异面直线与所成角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】连接，由长方体的结构特征易得，从而是异面直线与所成角，然后在中求解.【详解】如图所示：连接，由长方体的结构特征得，所以是异面直线与所成角，因为， 所以，即，所以，故异面直线与所成角故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 下列命题正确的是 ()一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有两条相交直线都
5、与另外一个平面平行，则这两个平面平行A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线对于：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在对于：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同.对于：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的定义对于：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的判定定理所以只有正确，故选D点睛: 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们
6、就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行8. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）A. ACBDB. ACBDC. AC截面PQMND. 异面直线PM与BD所成角为45【答案】B【解析】【分析】根据PQMN是正方形，利用线面平行的判定定理、性质定理，即可判断A、C、D的正误，利用三角形相似及题干条件，即可判断B的正误，即可得答案.【详解】因为截面PQMN是正方形，所以PQMN，QMPN，则PQ平面
7、ACD，QM平面BDA，所以PQAC，QMBD，由PQQM，可得ACBD，故A正确；由PQAC，可得AC截面PQMN，故C正确；由BDPN，所以MPN(或其补角)是异面直线PM与BD所成角，又PQMN是正方形，故D正确；由上面可知，BDPN，MNAC.所以，而ANDN，PNMN，所以BDAC，故B错误故选：B.9. 已知正方体的棱长为1，点P是面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】证明是的中位线即可.【详解】连接，点是面的中心，是的中点，平面，平面,平面平面，即是的中位线故选：C.10. 如图，在下列四个正方体中，、为正
8、方体的两个顶点，、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图所示，连接， 在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，
9、连接交于点，连接，连接交于点，若平面，平面，平面平面，则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（，）.11. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该
10、图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.【详解】解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，所以r1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.故选：B.【点睛】本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
11、解析】【详解】如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，所以，所以，所以故选A第卷二、填空题（每小题4分，共16分）13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】结合三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥和一个半球，分别计算出三个几何体的体积，然后作差即可.【详解】结合三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥和一个半球，如图圆柱的体积为圆锥体积为半球的体积为所以该几何体的体积为：故答
12、案为：.14. 已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，则的长为_.【答案】或【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形进行分析，点可能在两平面之间或在两平面之外两种情况，然后利用比例关系求出的长即可.【详解】如图：当点在两平面之外即在延长线上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，所以，解得，如图：当点在两平面之间即在线段上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，所以，解得，所以，综上所述：的长为或，故答案为：或【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用面面平行的性质定理可得，再利用平行线分线段成比例求的长，但是要注意需要
13、讨论点的位置.15. 下面四个命题：若直线异面，异面，则异面；若直线相交，相交，则相交；若，则与c所成角相等；若是两条直线，且，那么平行于经过b的任何平面其中真命题的序号为_【答案】【解析】【分析】线线的位置关系，用到线线的判断定理及性质定理，逐个分析即可得到正确结果.【详解】若直线异面，异面，则三种位置关系都有，所以不正确；若直线相交，相交，则三种位置关系都有，所以不正确；若，则与c所成的角相等，这是平行线的性质，所以正确；若是两条直线，且，那么平行于经过b不经过的平面，所以不正确.故答案为：16. 如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、
14、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDAB；平面PAD平面PAB.其中正确的有_.(填序号)【答案】【解析】【详解】【分析】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC;故填.三、解答题（本题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D
15、1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？【答案】【解析】【分析】分别计算四棱锥和四棱柱的体积，相加即得【详解】由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥PO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是312 m3.【点睛】本题考查组合体的体积，解题关键是确定这个组合体是由哪些柱锥台球组合切割而来的
16、然后计算各个部分的体积，再相加减可得18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=r22r=2，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积；（2）因为ABC为正三角形，底面圆的半径为1，所以可得边长AB=，利用三棱柱的体积，即可得解.试题解析：（1）设底面圆的直径为，由题可知圆柱的侧面积（2）因为ABC为正三角形，底面圆的半径为1，可得边长AB=三棱柱的体积19. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长A
17、B=1.（）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；（）求证：平面A1BD平面B1CD1【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）根据异面直线所成角的定义，易知图中就为所求角，又三角形为正三角形；（）根据面面平行的判定定理，要证平面A1BD平面B1CD 1 可转化为两相交直线BD和A1B平行于平面B1CD 1即可【详解】（）因为B1C/A1D，所以为异面直线A1B与B1C所成角在中，易得（），且所以考点：1、异面直线的角；2、面面平行；4、线面平行和线线平行.20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设
18、与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面； （2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，四边形为平行四边形，为中点，又是的中点，是三角形的中位线，则，又平面，平面，平面；（2）为线段的中点，点是的中点，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，平面又平面，且平面，平面，平面平面【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题21. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱
19、锥B1A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【答案】（1）；（2）B1F平面A1BE；延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线，证明见解析【解析】【分析】（1）用换底法，即；（2）把截面作全，B1F平面A1BE；延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线【详解】(1)如图所示，.(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线因为BA1平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE.又A1BCD1，所以GECD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BGB1F，BG就是所求直线.【点睛】本题考查棱锥的体积，考查线面平行的性质，属于基础题
