1、第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()_.cos()_.tan()_.sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin
2、2_.cos 2_.tan 2_.2sin cos cos2sin22cos2112sin22tan 1tan23.函数 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()其中tan ba或 f()a2b2cos()其中tan ab.常用结论与微点提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos21cos 22，sin21cos 22.3.1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()
3、(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立.()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使 tan 22tan.()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，2k(kZ).答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册 P217T3 改编)已知 cos 45，32，则 sin4 等于()A.210B.210C.7 210D.7 210解析，32，且 cos 45，sin 35，sin4 35 22 45 22 7 210.答案 C3.(老教材必修 4P131T4
4、 改编)已知 tan4 2，则 tan()A.13B.13C.43D.43解析 tan4 1tan 1tan 2，解得 tan 13.答案 A4.(2018全国卷)若 sin 13，则 cos 2()A.89B.79C.79D.89 解析 由题意得 cos 212sin21213212979.答案 B5.(2020揭阳一模)若 sin22 35，则 sin4cos4 的值为()A.45B.35C.45D.35解析 sin22 cos 235，sin4cos4sin2cos2cos 235.答案 D6.(2019 南昌一模)已知角的终边经过点P(sin 47，cos 47)，则sin(13)()
5、解析 由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13 A.12B.32C.12D.32cos(4713)cos 6012.答案 A考点一 三角函数式的化简【例 1】(1)化简：2cos4x2cos2x122tan4x sin24x_.解析 原式12（4cos4x4cos2x1）2sin4xcos4xcos24x（2cos2x1）24sin4x cos4xcos22x2sin22x cos22x2cos 2x12cos 2x.答案 12cos 2x(2)化简：sin（2）sin
6、2cos().解 原式sin（2）2sin cos（）sin sin（）2sin cos（）sin sin cos（）cos sin（）2sin cos（）sin cos sin（）sin cos（）sin sin（）sin sin sin.规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】(1)化简：sin()cos()cos()sin()_.(2)化简：2tan（45）1tan2（45）sin cos cos2sin2_.解析(1
7、)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()()sin().(2)原式tan(902)12sin 2cos 2 sin（902）cos（902）12sin 2cos 2cos 2sin 2 12sin 2cos 212.答案(1)sin()(2)12考点二 三角函数式的求值 多维探究 角度1 给值求值【例 21】(1)已知 x0，2，tan x34，则2sin（x）sin 2x1cos x_.(2)(2020康杰中学联考)已知 6，tan tan 3，则 cos()的值为()A.12 33B.12 33C.13 32D.13 32 解析(1)由题
8、意得，4sin x3cos x，又 sin2xcos2x1，且 x0，2，解得 cos x45，sin x35，又2sin（x）sin 2x1cos x2sin xsin 2x1cos x2sin x2sin xcos x1cos x2sin x（1cos x）1cos x 2sin x23565.(2)由 tan tan 3，得sin cos sin cos 3，即sin cos cos sin cos cos 3.sin()3cos cos.又知 6，cos cos 16.而 cos()cos cos sin sin 32，sin sin 32 16.cos()cos cos sin si
9、n 1632 16 13 32.答案(1)65(2)D规律方法 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.角度2 给角求值【例 22】(1)3cos 1901cos 80()A.4 B.4 C.2 D.2(2)2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280_.解 析 (1)3cos 190 1cos 80 1cos 80 3cos 10 cos 10 3cos 80cos 80cos 10sin 80 3cos 80sin 10cos 102sin（8060）12sin 202sin 2012sin
10、204.(2)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 10 2sin 802sin 502sin 1012cos 10 32 sin 10cos 10 2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 2 32 6.答案(1)B(2)6规律方法 给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.角度3 给值求角【例 23】(1)已知 cos6 cos3 14，3，2，则 _.(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan
11、 17，则 2 的值为_.解析(1)cos6 cos3 sin3 cos312sin23 2 14，即 sin23 2 12，又3，2，则23 23，0，所以23 26，得 512.(2)tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 121711217130，又(0，)，00，022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案(1)512(2)34规律方法“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余
12、弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好.【训练 2】(1)(角度 1)(2020普宁联考)已知 tan6 2，6，76，则 sin 2cos 2 3cos22 32 _.(2)(角度 2)cos2 12sin 12cos 12_.(3)(角度 3)已知，为锐角，cos 17，且 sin()5 314，则角 _.解析(1)tan6 2，tan6 2，即 tan6 sin6cos6cos3sin32，cos3 2sin3.6，76，32，32.又知 cos23 sin23 1，解得 cos3 2 55，sin3 55.则
13、sin 2cos 2 3cos22 32 12sin 32 cos sin3 55.(2)cos2 12sin 12cos 121cos 6212sin 61212cos612sin 61212 32 12123 34.(3)为锐角，且 cos 17，sin 11724 37.，0，2，0.又sin()2，cos()1114.cos cos()cos()cos sin()sin 1114175 314 4 37 499812.3.答案(1)55 (2)3 34(3)3考点三 三角恒等变换的应用【例 3】已知函数 f(x)cos 2xsin xcos x2sin x.(1)在ABC 中，cos
14、A35，求 f(A)的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.解(1)由 sin xcos x0 得 xk4，kZ.因为 f(x)cos 2xsin xcos x2sin xcos2xsin2xsin xcos x2sin xcos xsin x，在ABC 中，cos A350，所以2A，所以 sin A 1cos2A45，所以 f(A)sin Acos A453515.(2)由(1)可得 f(x)2sinx4，所以 f(x)的最小正周期 T2.因为函数 ysin x 的对称轴为 xk2，kZ，又由 x4k2，kZ，得 xk4，kZ，所以 f(x)的对称轴的方程为 xk4
15、，kZ.规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x)tan ba，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【训练 3】(2019合肥质检)将函数 f(x)sin 2x 的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g(x)的图象，设函数 h(x)f(x)g(x).(1)求函数 h(x)的单调递增区间；(2)若 g6 13，求 h()的值.解(1)由已知可得 g(x)sin2x3，则 h(x)sin 2xsin2x3 12sin 2x 32 cos 2xsin2x3.令22k2x322k，kZ，解得 12kx512k，kZ.函数 h(x)的单调递增区间为 12k，512k(kZ).(2)由 g6 13，得 sin26 3 sin223 13，sin23 sin223 sin223 13，即 h()13.
