1、20202021学年度第一学期10月月考数学试题（普实）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面2设a、b为两条直线，、为两个平面，则正确的命题是()A若a、b与所成的角相等，则ab B若a，b，则abC若a，b，ab，则 D若a，b，则ab3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的
2、中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A45B60C90D1204点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程 为 ()A3xy50B3xy70Cx3y50Dx3y105若双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e()A. B2 C.D36过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16 C32 D647若向量m垂直于向量a和b，向量nab(，R且，0)，则()Amn BmnCm不平行于n，m也不垂直于n D以上三种情况都有可能8如图所示，C90，ACBC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将BMN折起
3、至BMN位置，使二面角BMNB的大小为60，则BA与平面ABC所成角的正切值为()A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9已知曲线.A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若m=n0，则C是圆，其半径为 C若mn0，则C是两条直线10已知两条直线，及三个平面，则的充分条件是（ ）A，B，C，D，11设椭圆的左右焦点为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）AB离心率C面积的最大值为D以线段为直径的圆与直线相切12已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.若点为的中点，则下列说法正确的为
4、（ ）A平面 B面C四棱锥外接球的表面积为 D四棱锥的体积为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为_.14已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)15如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_
5、16设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V. 18(本小题满分12分)如图所示，已知圆C：x2y210x10y0，点A(0,6)(1)求圆心在直线yx上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m
6、的方程 19(本小题满分12分)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE；平面PAC平面BDE；(2)若二面角
7、EBDC为30，求四棱锥PABCD的体积22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.20202021学年度第一学期10月月考数学试题（普实） 参 考 答 案一、单项选择题参考答案：（85=40分）1B 2D 3B 4A 5 A 6 B 7 B 8C二、多项选择题参考答案：（45=20分）9 ACD 10 ABC 11 AD 12 BC三、填空题：（45=20分）13 60 14 15 90 16 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 解V三棱柱ABCABC636(cm3)设圆柱底面圆的半径为r，则r1，V圆柱OOr2h6(cm3)所以VV三棱柱ABCABCV圆柱OO366(cm3)18(本小题满分12分) 【解】(1)由x2y210x10y0，化为标准方程：(x5)2(y5)250.所以圆C的圆心坐标为C(5，5)，又圆N的圆心在直线yx上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有，解得a3，所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r3，故圆N的方程为(x3)2(y3)218.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CPCQ. 所以点C到直线m的距离
9、为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为ykx6，即kxy60.所以5，解得k.所以此时直线m的方程为xy60，即48x55y3300，故所求直线m的方程为x0或48x55y3300.19(本小题满分12分)【证明】(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平
10、面CDB1.AC1平面CDB1.20(本小题满分12分) 解(1)由题意，得，又点(2，)在C上，所以1，两方程联立，可解得a28，b24. 所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.所以直线OM的斜率kOM，所以kOMk.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21(本小题满分12分) 【解】(1)证明：连接OE，如图所示O、E分别为AC、PC的中点，OEPA.OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.PO平面ABCD，POBD. 在
11、正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD平面PAC.又BD平面BDE，平面PAC平面BDE.(2)取OC中点F，连接EF. E为PC中点，EF为POC的中位线，EFPO.又PO平面ABCD，EF平面ABCD.OFBD，OEBD. EOF为二面角EBDC的平面角，EOF30.在RtOEF中，OFOCACa，EFOFtan 30a，OP2EFa.VPABCDa2aa3.22(本小题满分12分)【解】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意 得c，b2a2c21，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 当AB与x轴垂直时，|AB|.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21).把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230.直线l与椭圆C交于A，B两点，36k2m212(3k21)(m21)12(3k21m2)36k2129(k21)27k230，即kR.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x1x2)2(1k2)3334(k0).当且仅当9k2，即k时等号成立.当k0时，|AB|.综上所述：|AB|max2.当|AB|最大时，AOB的面积取得最大值S|AB|max.
