1、三角函数与解三角形热点问题三年真题考情核心热点 真题印证 核心素养 三角函数的图象与性质 2019全国，11；2019北京，9；2019全国，12，2019天津，7；2018全国，10；2018全国，16；2018全国，15；2017浙江，18；2017山东，16；2017全国，14 直观想象、逻辑推理 三角恒等变换 2019全国，10；2019浙江，18；2018浙江，18；2018江苏，16；2018全国，15；2018全国，4；2017全国，17；2017山东，9 逻辑推理、数学运算 解三角形 2019全国，17；2019全国，18；2019北京，15；2019江苏，15；2018全国，
2、17；2018北京，15；2018天津，15；2017全国，17 逻辑推理、数学运算 热点聚焦突破教材链接高考三角函数的图象与性质 教材探究(必修4P147复习参考题A组第9题、第10题)题目9 已知函数y(sin xcos x)22cos2x.(1)求它的递减区间；(2)求它的最大值和最小值.题目10 已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4 x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当 x0，2 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合.试题评析 两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为yAsin(x)k的形式，
3、然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】已知函数 f(x)4tan xsin2x cosx3 3.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间4，4 上的单调性.解(1)f(x)的定义域为x|x2k，kZ，f(x)4tan xcos xcosx3 34sin xcosx3 34sin x12cos x 32 sin x 32sin xcos x2 3sin2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3.所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)由22k2x322k(kZ)，得 12kx512k(kZ).设 A4，4，Bx 12kx512k，kZ，易知 AB 12，4.
4、所以当 x4，4 时，f(x)在区间 12，4 上单调递增，在区间4，12 上单调递减.探究提高 1.将 f(x)变形为 f(x)2sin2x3 是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2019浙江卷)设函数f(x)sin x，xR.(1)已知 0，2)，函数 f(x)是偶函数，求 的值；(2)求函数 yfx 122fx42的值域.解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即s
5、in xcos cos xsin sin xcos cos xsin，故2sin xcos 0，所以cos 0.又 0，2)，因此 2或32.(2)yfx 122fx42sin2x 12 sin2x4121cos2x6 121cos2x211232 cos 2x32sin 2x 1 32 cos2x3.由于 xR，知 cos2x3 1，1，因此，所求函数的值域为1 32，1 32.教你如何审题三角函数与平面向量【例题】(2020湘赣十四校联考)已知向量 m(sin x，1)，n(3，cos x)，且函数 f(x)mn.(1)若 x0，2，且 f(x)23，求 sin x 的值；(2)在锐角三角
6、形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 7，ABC的面积为3 32，且 fA6 73 bsin C，求ABC 的周长.审题路线 自主解答 解(1)f(x)mn(sin x，1)(3，cos x)3sin xcos x2sinx6.f(x)23，sinx6 13.又x0，2，x66，3，cosx6 2 23.sin xsinx6 6 13 32 2 23 12 32 26.(2)fA6 73 bsin C，2sin A 73 bsin C，即 6sin A 7bsin C.由正弦定理可知 6a 7bc.又a 7，bc6.由已知ABC 的面积等于12bcsin A3 3
7、2，sin A 32.又A0，2，A3.由余弦定理，得 b2c22bccos Aa27，故 b2c213，(bc)225，bc5，ABC 的周长为 abc5 7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化.2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”.【尝试训练】(2020郑州质检)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
8、若向量 m2cos2C2，cos AB2，n58，cos AB2，mn98.(1)求 tan Atan B 的值；(2)求 absin Cc2a2b2的最小值.解(1)由题意可得 mn54cos2C2cos2AB298，即58cos(AB)12cos(AB)0，展开可得 cos Acos B9sin Asin B，所以 tan Atan B19.(2)由余弦定理可得c2a2b22abcos C，所以 absin Cc2a2b2absin C2abcos C12tan C12tan(AB)12 tan Atan B1tan Atan B 916(tan Atan B)9162 tan Atan
9、B38，当且仅当 tan Atan B13时等号成立.所以 absin Cc2a2b2的最小值为38.满分答题示范解三角形【例题】(12分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C.规范解答 解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.用正弦定理化角为边 2由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.用余弦定理化边为角 4因为0A180，所以A60.5(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得 2
10、sin Asin(120C)2sin C，6即 62 32 cos C12sin C2sin C，可得，cos(C60)22两角和余弦公式的逆用 8因为0C120，所以,sin(C60)22同角基本关系式的应用10故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 24.12两角差正弦公式的应用高考状元满分心得写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0A180就有分，没写就扣 1 分，第(2)问中 0C120也是如此.写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答
11、题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得 b2c2a2bc，由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12，第(2)问中 cos(C60)22 等.保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如 62 32 cos C12sin C2sin C 化简如果出现错误，本题第(2)问最多得 1 分.【规范训练】(2019天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求 cos B 的值；(2)求 sin2B6 的值.解(1)在ABC 中，由正弦定理 bsin Bcsin C，得bsin Ccsin B.又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.因为 bc2a，所以 b43a，c23a.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可得 sin B 1cos2B 154，从而 sin 2B2sin Bcos B 158，cos 2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6 sin 2Bcos 6cos 2Bsin 6 158 32 78123 5716.
