1、第3讲等比数列及其前n项和基础知识整合1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab(ab0)2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相
2、同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)a1a2a3am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，成等比数列(mN*)(6)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则q.(7)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.(8)等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an是递减数列 1(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为1
3、5，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C4 D2答案C解析由题意知解得a3a1q24.故选C.2(2019广西柳州模拟)设等比数列an中，公比q2，前n项和为Sn，则的值为()A. B. C. D.答案A解析S415a1，a3a1q24a1，.故选A.3若等比数列an满足anan116n，则公比为()A2 B4 C8 D16答案B解析由anan116n，得an1an216n1.两式相除得，16，q216.anan116n，可知公比为正数，q4.4(2019长春模拟)设数列an的前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，且a22，则a7()A16 B32 C64 D128答案C
4、解析由题意得Sn2Sn12Sn，得an2an1an10，即an22an1，an从第二项起是公比为2的等比数列，a7a2q564.故选C.5已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值为()A5 B10 C15 D20答案A解析根据等比数列的性质，得a2a4a，a4a6a，a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)2.而a2a42a3a5a4a625，(a3a5)225，an0，a3a55.6(2019全国卷)设Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.答案解析由aa6，得(a1q3)2a1q5，整理得q3.S5.核心考向突破考向一等比数列
5、的基本运算 例1(1)(2019汕头模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，S33a1a2，则()A2 B3 C4 D5答案B解析设等比数列的公比为q，由题意a1a2a33a1a2得a32a1(a10)，q22，1q23.故选B.(2)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.
6、综上，m6.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，数列an的前n项和Snna1；当q1时，数列an的前n项和Sn.即时训练1.等比数列an中，a1a310，a2a430，则数列an的前5项和S5()A81 B90 C100 D121答案D解析等比数列an中，a1a310，a2a430，公比q3，a19a110，解得a11，数列an的前5项和S5121.故选D.2(2019全国卷)记Sn为等比
7、数列an的前n项和，若a11，S3，则S4_.答案解析设等比数列的公比为q，又a11，则ana1qn1qn1.S3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，S4.3(2019安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则a8_.答案128解析a2a4a16，a34(负值舍去)，a3a1q24，S37，q1，S23，3q24q40，解得q或q2，an0，q舍去，q2，a11，a827128.精准设计考向，多角度探究突破考向二等比数列的性质角度1等比数列项的性质 例2(1)(2019四川绵阳模拟)等比数列an的各项均为正数，且a12a24，a4a3
8、a7，则a5()A. B. C20 D40答案B解析设等比数列的公比为q.由a4a3a7，得a4a，所以q22，解得q.又因为数列的各项均为正数，所以q.又因为a12a24，所以a12a1qa12a14，解得a12，所以a5a1q424.故选B.(2)在等比数列an中，公比q1，a1am17，a2am116，且前m项和Sm31，则项数m_.答案5解析由等比数列的性质知a1ama2am116，又因为a1am17，q1，所以a11，am16，Sm31，解得q2，ama1qm12m116.所以m5.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的
9、性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形即时训练4.(2019福建三明模拟)已知数列an是各项均为正值的等比数列，且a4a12a3a515，a4a85，则a4a8()A15 B. C5 D25答案C解析a4a12a3a515，aa15，又a4a85，(a4a8)2aa2a4a825，又a4a80，a4a85.故选C.5已知等比数列an的前n项积为Tn，若a124，a4，则当Tn取最大值时，n的值为()A2 B3 C4 D6答案C解析等比数列an的前n项积为Tn，由a124，a4，可得q3，解得q，Tn
10、a1a2a3an(24)nq12(n1)(24)nn(n1)，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n2时，T2(24)2192；当n4时，T4(24)46；当n6时，T6(24)615，则T6T26，且n为偶数时，TnT6，故n4时，Tn取最大值故选C.角度2等比数列前n项和的性质例3(1)已知各项都是正数的等比数列an，Sn为其前n项和，且S310，S970，那么S12()A150 B200C150或200 D400或50答案A解析解法一：由等比数列的性质知S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，(S610)210(70S6)，解得S630或20(舍去)，又(S9S6)2(S6S3)(
11、S12S9)，即40220(S1270)，解得S12150.故选A.解法二：设等比数列的前n项和为SnAAqn，则两式相除得1q3q67，解得q32或3(舍去)，A10.S12A(1q12)10(124)150.故选A.(2)已知等比数列an的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则Sa3a6a9a12的值为_答案585解析设公比为q，由得Sa3a6a9a12a3(1q3q6q9)a1q2(1q3)(1q6)585.(1)等比数列前n项和的性质主要是若Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列(2)注意等比数列前n项和公式的变形当q1时，Snqn，即SnAAqn(
12、q1)(3)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口即时训练6.(2019云南玉溪模拟)等比数列an中，公比q2，a1a4a7a9711，则数列an的前99项的和S99()A99 B88 C77 D66答案C解析解法一：由等比数列的性质知a1，a4，a7，a97是等比数列且其公比为q38，11，a1(1299)77，S9977.故选C.解法二：令S0a1a4a7a9711，Sa2a5a8a98，Sa3a6a9a99.由数列an为等比数列，q2易知S0，S，S成等比数列且公比为2，则S2S022，S2S44，所以S99S0S
13、S11224477.故选C.7各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16答案B解析由题意知公比大于0，由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列则(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.故选B.考向三等比数列的判定与证明 例4(1)(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an，设bn.求b1，b2，b3；判断数列bn
14、是否为等比数列，并说明理由；求an的通项公式解由条件可得an1an.将n1代入，得a24a1，而a11，所以a24.将n2代入，得a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.bn是首项为1，公比为2的等比数列由题设条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列由可得2n1，所以ann2n1.(2)(2019安徽江南十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.证明：Snn2为等比数列；求数列Sn的前n项和Tn.解证明：当n1时，a1S1，S12a114，解得a13.由Sn2ann4可得Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所
15、以Snn22Sn1(n1)2因为S1124，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列由知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.判定一个数列为等比数列的常用方法(1)定义法：若q(q是常数)，则数列an是等比数列(2)等比中项法：若aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若anAqn(A，q为常数)，则数列an是等比数列即时训练8.(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1，所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.
