1、第3讲导数与函数的极值、最值基础知识整合1导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值2导数与函数的最值(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不
2、断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值.将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点3极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值1函数f(x)x36x28x的极值点是()Ax1Bx2Cx2和x1Dx1和x2答案D解析f(x)4x212x84(x2)(x1)，则结合列表可得函
3、数f(x)的极值点为x1和x2.故选D2(2019哈尔滨模拟)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案D解析f(x)exxex(1x)ex.令f(x)0，则x1.当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点3(2019岳阳模拟)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1eB1CeD0答案B解析因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.故选B4函数yx33x29x(2x2)有()A极大值为5
4、，极小值为27B极大值为5，极小值为11C极大值为5，无极小值D极大值为27，无极小值答案C解析y3x26x93(x22x3)3(x3)(x1)，y0时，x3或x1.2x0，x.6若f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_.答案6解析f(x)3x24cxc2，f(x)在x2处有极大值，解得c6.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一导数与函数的极值 角度知图判断函数极值情况例1(2019浙江杭州二中6月热身考)如图，可知导函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线为l：yg(x)，设h(x)f(x)g(x)，则下列说法正确的是()Ah(x0)0，xx0是h(x)的极大
5、值点Bh(x0)0，xx0是h(x)的极小值点Ch(x0)0，xx0不是h(x)的极值点Dh(x0)0，xx0是h(x)的极值点答案B解析由题知g(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故h(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，所以h(x)f(x)f(x0)，因为h(x0)f(x0)f(x0)0，又当xx0时，有h(x)x0时，有h(x)0，所以xx0是h(x)的极小值点，故选B角度已知函数解析式求极值例2(2019福建泉州单科质检)已知函数f(x)ax3bx2的极大值和极小值分别为M，m，则Mm()A0B1C2D4答案D解析f(x)3ax2b0，该方程两个根为x1，x2，故f(x)在x
6、1，x2处取到极值，Mmaxbx12axbx22b(x1x2)a(x1x2)(x1x2)23x1x24，又x1x20，x1x2，所以Mm4，故选D角度已知函数的极值求参数的值或取值范围例3(1)(2020辽宁丹东质量测试二)若x1是函数f(x)x3(a1)x2(a2a3)x的极值点，则a的值为()A2B3C2或3D3或2答案B解析f(x)x22(a1)x(a2a3)，f(1)0，则f(1)12(a1)(a2a3)0，解得a3或a2.当a3时，f(x)x22(a1)x(a2a3)x28x9(x9)(x1)，当x1或x0，函数f(x)单调递增；当9x1时，f(x)1解析f(x)的定义域为(0，)，
7、f(x)axb，由f(1)0，得b1a，f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1.函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反即时训练1.函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则a，b的
8、值为()Aa3，b3，或a4，b11Ba4，b1，或a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案D解析f(x)3x22axb，依题意，有即解得或当a3且b3时，f(x)3x26x30，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有故选D2(2019贵阳模拟)已知函数y的图象如图所示(其中f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是()Af(1)f(1)0B当x1时，函数f(x)取得极大值C方程xf(x)0与f(x)0均有三个实数根D当x1时，函数f(x)取得极小值答案C解析由图象可知f(1)f(1)0，A说法正确当x1时，0；当1x0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极大
9、值，B说法正确当0x1时，0，此时f(x)1时，0，此时f(x)0，故当x1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确故选C3(2019湖南师大附中模拟)若函数f(x)(2a)在上有极大值，则实数a的取值范围为()A(，e)B(，2)C(2，e)D(e，)答案B解析令f(x)(2a)(x1)(exa)0，得xln a，解得a(，e)，由题意知，当x时，f(x)0，当x(ln a,1)时，f(x)0，得a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x.当0x0；当x时，f(x)0，故函数f
10、(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.求函数f(x)在a，b上的最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为
11、最大值，一个为最小值(2)若函数在区间a，b内有极值，则先求出函数在a，b上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到即时训练4.已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(
12、x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a时，求函数f(x)在b，)上的最小值解f(x).(1)因为x是函数yf(x)的一个极值点，所以f0，因此aa10，解得a.经检验，当a时，x是yf(x)的一个极值点，故所求a的值为.(2)由(1)可知，f(x)，令f(x)0，得x1，x2.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：xf(x)00f(x)所以，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.当b时，f(x)在上单调递减，在上单调递增所以f(x)在b，)
13、上的最小值为f；当b时，f(x)在b，)上单调递增，所以f(x)在b，)上的最小值为f(b).(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值即时训练5.(2019山西三区八校模拟)已知函数f(x)ln xax2bx(其中a，b为常数，且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解(1)因
14、为f(x)ln xax2bx，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)2axb，因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，又a1，所以b3，则f(x)，令f(x)0，得x1，x21.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增所以f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.(2)由(1)知f(x)，令f(x)0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，x20，当1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，1，e上单调递增，所以最大值可能在x或xe处取得，而fln a2(2a1)ln 10，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，当1e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以最大值可能在x1或xe处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1x2e矛盾，当x2e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以最大值可能在x1处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，矛盾，综上所述，a或a2.
