1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3 柱坐标系和球坐标系 上一页返回首页下一页1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法.(重点)2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理 1 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系如图 1-3-1，建立空间直角坐标系 O-xyz.设 M(x，y，z)为空间一点，并设点M 在 xOy 平面上的投影点 P 的极坐标为(r，)，则这样的三个数 r，z 构成的有序数组(r，z)就叫作点 M 的，这里规定 r，z 的变
2、化范围为 0r，02，z.柱坐标上一页返回首页下一页图 1-3-1特别地，r常数，表示的是以 z 轴为轴的圆柱面；常数，表示的是过 z 轴的半平面；z常数，表示的是与 xOy 平面平行的平面.上一页返回首页下一页2.球坐标系设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有次序的数 r，来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距离，为有向线段OM 与 z 轴正方向所夹的角，为从 z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP 的角，这里 P为点 M 在 xOy 平面上的投影(如图 1-3-2).这样的三个数 r，构成的有序数组(r，)叫作点 M 的，这里 r，的变化范围为
3、0r，0，02.球坐标上一页返回首页下一页图 1-3-2特别地，r常数，表示的是以原点为球心的球面；常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；常数，表示的是过 z 轴的半平面.上一页返回首页下一页判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.()(2)在柱坐标系 M(r，z)中，表示 OM 与 y 轴所成的角.()(3)球坐标中，r 表示 OM 的长度.()【解析】(1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.(2)表示 OM 与 x 轴所成的角.(3)球坐标中 r 表示 OM 的长度.【答案】(1)(2)(3)上一页返回首页下一页教材整理 2 空间中点
4、的坐标之间的变换公式设空间一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，则空间直角坐标柱坐标系球坐标系(x，y，z)xrcos yrsin zzxrsin cos yrsin sin zrcos 上一页返回首页下一页填空：(1)柱坐标2，3，1 的直角坐标是_.(2)球坐标4，4，6 的直角坐标是_.上一页返回首页下一页【解析】(1)x2cos 31，y2sin 3 3，z1.所以2，3，1 的直角坐标是(1，3，1).(2)x4sin 4cos 6 6，y4sin 4sin 6 2，z4cos 42 2.4，4，6 的直角坐标是(6，2，2 2).【答案】(1)
5、(1,3，1)(2)(6，2，2 2)上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型把点的柱坐标化为直角坐标 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标.(1)2，56，3；(2)2，4，5.【精彩点拨】柱坐标 xrcos yrsin zz 直角坐标 上一页返回首页下一页【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z).(1)(r，z)2，56，3，xrcos 2cos56 3，yrsin 2sin56 1，z3，(3，1,3)为所求.上一页返回首页下一页(2)(r，z)2，4，5
6、，xrcos 2cos41，yrsin 2sin41，z5，(1,1,5)为所求.上一页返回首页下一页点(r，z)是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面 xOy 内实际为极坐标系，且 r0,02，在竖直方向上，z 为任意实数.化点的柱坐标(r，z)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式xrcos，yrsin，zz转化为三角函数的求值与运算即得.上一页返回首页下一页再练一题1.将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标.(1)2，6，1；(2)(1，0).上一页返回首页下一页【解】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，z)2，6，1，xrcos 2cos6 3，yrsin 2sin61，z1，(3，
7、1,1)为所求.上一页返回首页下一页(2)(r，z)(1，0)，xrcos cos 1，yrsin sin 0，z0，(1,0,0)为所求.上一页返回首页下一页把点的球坐标化为直角坐标 把下列各点的球坐标化为直角坐标.(1)2，34，54；(2)6，3，6.【精彩点拨】球坐标 xrsin cos yrsin sin zrcos 直角坐标 上一页返回首页下一页【自主解答】设点的直角坐标为(x，y，z)，(1)(r，)2，34，54，xrsin cos 2sin34 cos54 1，yrsin sin 2sin34 sin54 1，zrcos 2cos34 2，(1，1，2)为所求.上一页返回首页
8、下一页(2)(r，)6，3，6，xrsin cos 6sin3cos63 64，yrsin sin 6sin3sin63 24，zrcos 6cos3 62，3 64，3 24，62 为所求.上一页返回首页下一页首先要明确点的球坐标(r，)中角，的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0，02.化点的球坐标(r，)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式xrsin cos，yrsin sin，zrcos.转化为三角函数的求值与运算.上一页返回首页下一页再练一题2.将下列各点的球坐标分别化为直角坐标.(1)6，3，23；(2)(3，).上一页返回首页下一页【解】设点的直角坐标为(x
9、，y，z).(1)(r，)6，3，23，xrsin cos 6sin3cos23 3 32，yrsin sin 6sin3sin23 92，zrcos 6cos33，3 32，92，3 为所求.上一页返回首页下一页(2)(r，)(3，)，xrsin cos 3sin cos 0，yrsin sin 3sin sin 0，zrcos 3cos 3，(0,0，3)为所求.上一页返回首页下一页探究共研型化点的坐标为柱坐标或球坐标 探究 1 空间中点的坐标有三种形式：直角坐标、柱坐标和球坐标，它们各有何特点？【提示】设空间中点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，它们
10、都是有序数组，但意义不同.直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角.上一页返回首页下一页探究 2 在空间的柱坐标系中，方程 rr0(r0 为不等于 0 的常数)，0，zz0 分别表示什么图形？【提示】在空间的柱坐标系中，方程 rr0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 r0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的.方程 0 表示与 zOx 坐标面成 0角的半平面.方程 zz0 表示平行于 xOy 坐标面的平面，如图所示.常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面.上一页返回首页下一页 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，
11、如图 1-3-3，建立空间直角坐标系 A-xyz，以 Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标.图 1-3-3上一页返回首页下一页【精彩点拨】先求 C1 的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标.上一页返回首页下一页【自主解答】点 C1 的直角坐标为(1,1,1).设点 C1 的柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，其中 r0，r0,0，02.由公式xrcos，yrsin，zz及xrsin cos，yrsin sin，zrcos，得r x2y2，tan yxx0，及r x2y2z2，cos zr，上一页返回首页下一页得r 2，tan 1，及r 3，c
12、os 33，结合图形，得 4，由 cos 33 得 tan 2.所以点 C1 的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为2，4，1，球坐标为3，4，其中 tan 2，0.上一页返回首页下一页化点 M 的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(r，z)或球坐标(r，)，需要对公式 xrcos yrsin zz以及xrsin cos，yrsin sin，zrcos 进行逆向变换，得到r x2y2，tan yxx0，zz以及r x2y2z2，cos zr.提醒：在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值.上一页返回首页下一页再练一题3.已知点 M 的柱坐标为2，4，1，求 M 关于原点 O 对称的点的柱坐
13、标.上一页返回首页下一页【解】M2，4，1 的直角坐标为 x 2cos 41，y 2sin 41，z1，M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(1，1，1).(1，1，1)的柱坐标为：2(1)2(1)22，上一页返回首页下一页 2.tan 111，又 x0，y0，y0，53，柱坐标为2，53，4.【答案】2，53，4上一页返回首页下一页5.已知点 P 的柱坐标为2，4，5，点 B 的球坐标为6，3，6，求这两个点的直角坐标.上一页返回首页下一页【解】设点 P 的直角坐标为(x，y，z)，则 x 2cos 4 2 22 1，y 2sin 41，z5.设点 B 的直角坐标为(x，y，z)，则 x 6sin 3cos 6 6 32 32 3 64，上一页返回首页下一页y 6sin 3sin 6 6 32 123 24，z 6cos 3 612 62.所以点 P 的直角坐标为(1,1,5)，点 B 的直角坐标为3 64，3 24，62.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评（五）点击图标进入
