1、宁夏吴忠市吴忠中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|0x22在等差数列an中，若a35，a59，则a7()A12 B13 C12 D133直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，则直线的倾斜角为()A.或 B或 C或 D.4已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ B ）A若则B若，则C若，则D若，则5在ABC中，a，b，c分别是内角A，B
2、，C的对边若bsin A3csin B，a3， cos B，则b()A14 B6 C. D.6函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则的值为()A. B. C. D.7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A44 B42 C84 D.8若sin，A，则sin A的值为()A. B. C.或 D.9在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. B C. D10在6,9内任取一个实数m，设f(x)
3、x2mxm，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A. B. C. D.8在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A. B.C. D.12函数定义域为，若满足在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为（ ）ABCD二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知向量，则向量与夹角的余弦值为_.14已知点(m,3)到直线xy40的距离等于，则m的值为_16现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已
4、知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD三、解答题:(解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(10分)己知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且.(1)求角A的大小；(2)若bc5，且ABC的面积为，求a的值18已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程 19在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2ac)cos Bbcos C0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)2sin xcos xcos Bcos 2x，求函数f(x)的最大
5、值及当f(x)取得最大值时x的值20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.21(12分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)把这些高度列成了如下的频数分布表：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？(2)这批树苗的平
6、均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)为了进一步获得研究资料，若从40,50)组中移出一棵树苗，从90,100组中移出两棵树苗进行试验研究，则40,50)组中的树苗A和90,100组中的树苗C同时被移出的概率是多少？22ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EAAB2a，DCa，且F为BE的中点，如图(1)求证：DF平面ABC；(2)求证：AFBD；(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小22. 如图，在四面体中，分别是线段，的中点，直线与平面所成的角等于（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值吴忠中学20202021学年第一学期期中考试
7、高二年级理科数学试卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|1x2 Dx|0x2解析：选B全集为R，Bx|x1，RBx|x1集合Ax|0x2，A(RB)x|0x12在等差数列an中，若a35，a59，则a7()A12 B13 C12 D13解析：选B法一：设公差为d，则2da5a3954，则d2，故a7a34d54(2)13，选B.法二：由等差数列的性质得a72a5a32(9)(5)13，选B.3直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截
8、得的弦长为2，则直线的倾斜角为()A.或 B或 C或 D.解析：选A由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d1.即d1，所以k，由ktan ，得或.故选A.4已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ B ）A若则B若，则C若，则D若，则5在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边若bsin A3csin B，a3， cos B，则b()A14 B6 C. D.解析：选Dbsin A3csin Bab3bca3cc1，b2a2c22accos B912316，b.6函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(
9、x)为偶函数，则的值为()A. B. C. D.解析：选B由题意知ysin 2xcos 2x2sin，其图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2k，kZ，所以，kZ，又因为，所以.7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A44 B42 C84 D.解析由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图所示，其中PA底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA2，AB2，PB2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S244，故选A.8若sin，A，则sin A的值为()A. B. C.或 D.解析：选BA，A，co
10、s ，sin Asinsincoscossin.9在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. B C. D (2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EFBD，EGAC，所以FEG为异面直线AC与BD所成的角易知FOAB，因为AB平面BCD，所以FO平面BCD，所以FOOG，设AB2a，则EGEFa，FGa，所以FEG60，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.10在6,9内任取一个实数m，设f(x)x2
11、mxm，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A. B. C. D.解析f(x)x2mxm的图象与x轴有公共点，m24m0，m4或m0，在6,9内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P，故选D.答案D8在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A. B.C. D.解析：在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.C1E平面BDD1B1，C1BE的正弦值就是所求角的正弦值BC1，C1E，sinC1BE.答案：D12函数定义域为，若满足在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“
12、成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为（ ）ABCD【解析】是“成功函数”，在其定义域内为增函数，令，有两个不同的正数根，解得，故选B二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知向量，则向量与夹角的余弦值为_.【解析】由题得 所以向量与夹角的余弦值为.故答案为：14已知点(m,3)到直线xy40的距离等于，则m的值为_解析：由点到直线的距离得.解得m1，或m3.答案：1或315在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.解析：C180754560，由正弦定理得，即，解得AC2.答案：216现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形
13、成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设三棱锥的外接球的半径为，因为，因为，所以为外接球的直径，所以，且。当点到平面距离最大时，三枝锥的体积最大，此时平面平面，且点到平面的距离，所以。三、解答题:(解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17(10分)己知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且.(1)求角A的大小；(2)若bc5，且ABC的面积为，求a的值解(1)由正弦定理得，sin C0，sin Acos A2，即sin1.0A，A，A，A.(2)由SABC可得Sbcsin A.bc4，bc5，由余弦定理得a2b
14、2c22bccos A(bc)2bc21，a.18已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)所以直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，所以|PA|2.所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3,6)或P(5，2)，所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.19在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2ac)cos Bbco
15、s C0.(1)求角B的大小；(2)设函数f(x)2sin xcos xcos Bcos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值解：(1)因为(2ac)cos Bbcos C0，所以2acos Bccos Bbcos C0，由正弦定理得2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0，即2sin Acos Bsin(CB)0，又因为CBA，所以sin(CB)sin A.所以sin A(2cos B1)0.在ABC中，sin A0，所以cos B，又因为B(0，)，所以B.(2)因为B，所以f(x)sin 2xcos 2xsin，令2x2k(kZ)，得xk(k
16、Z)，即当xk(kZ)时，f(x)取得最大值1.20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明：(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.所以平面PAB平面PCD.3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点
17、，所以FGBC，FGBC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.21(12分)某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)把这些高度列成了如下的频数分布表：组别40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时
18、可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)为了进一步获得研究资料，若从40,50)组中移出一棵树苗，从90,100组中移出两棵树苗进行试验研究，则40,50)组中的树苗A和90,100组中的树苗C同时被移出的概率是多少？解(1)由已知，高度在85厘米以上的树苗大约有6410棵，则所求的概率大约为0.2.(2)树苗的平均高度x 73.8厘米(3)依题意，记40,50)组中的树苗分别为A、B，90,100组中的树苗分别为C、D、E、F，则所有的基本事件为ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，共12个满足A、C同时被移出的基本事件为ACD、AC
19、E、ACF，共3个，所以树苗A和树苗C同时被移出的概率P0.25.22ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设EAAB2a，DCa，且F为BE的中点，如图(1)求证：DF平面ABC；(2)求证：AFBD；(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，FG.EFFB，AGGB，FG綊EA.又DC綊EA，FG綊DC.四边形CDFG为平行四边形，故DFCG.DF平面ABC，CG平面ABC，DF平面ABC.(4分)(2)证明：EA平面ABC，EACG.又ABC是正三角形，CGAB.CG平面AEB.CGAF.又DFCG，DFAF.又A
20、EAB，F为BE中点，AFBE.又BEDFF，AF平面BDE.AFBD.(8分)(3)延长ED交AC延长线于G，连接BG.由CDAE，CDAE知D为EG中点，FDBG.由CG平面ABE，FDCG，BG平面ABE.EBA为所求二面角的平面角(12分)在等腰直角三角形AEB中，易求ABE45.22. 如图，在四面体中，分别是线段，的中点，直线与平面所成的角等于（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（）在中，是斜边的中点，所以.因为是的中点，所以，且，所以，所以. 又因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面（）方法一：取中点，连，则，因为，所以.又因为，所以平面，所以平面因此是直线与平面所成的角故，所以.过点作于，则平面，且过点作于，连接，则为二面角的平面角因为，所以，所以，因此二面角的余弦值为
