1、上一页返回首页下一页阶段1 阶段2阶段3学业分层测评4 反证法上一页返回首页下一页1了解间接证明的一种基本方法反证法2理解反证法的概念及思考过程和特点(难点)3掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题(重点、难点)上一页返回首页下一页基础初探 教材整理 反证法阅读教材 P65P67“练习”以上内容，完成下列问题1反证法的定义在证明数学命题时，先假定_成立，在这个前提下，若推出的结果与_、_、_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明_不可能成立，由此断定_成立这种证明方法叫作反证法命题结论的反面定义公理定理已知条件假定命题结论的反面命题的结论上一页返回首页下一页2反证
2、法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用框图 3-4-1 表示：肯定条件p，否定结论q 导致逻辑矛盾“p且q”为假“若p则q”为真图 3-4-1上一页返回首页下一页判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾()上一页返回首页下一页【解析】(1)正确反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法(2)错
3、误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理(3)错误反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾【答案】(1)(2)(3)上一页返回首页下一页质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页用反证法证明否定性命题小组合作型 等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2.【导学号：67720020】(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn(nN)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列上一页返回首页下一页【精彩点拨】第(1)问应用 ana1(n1)d 和
4、 Snna112n(n1)d 两式求解第(2)问先假设存在三项 bp，bq，br 成等比数列，再用反证法证明【自主解答】(1)设等差数列an的公差为 d，由已知得a1 21，3a13d93 2，d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)上一页返回首页下一页(2)证明：由(1)得 bnSnn n 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，r 互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr，即(q 2)2(p 2)(r 2)，(q2pr)(2qpr)20.p，q，rN，q2pr0，2qpr0，pr22pr，(pr)20，pr，这与 pr 矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列上
5、一页返回首页下一页1当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾 2反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法 上一页返回首页下一页3常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语 否定词语的否定形式 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 上一页返回首页下一页再练一题1已知方程 f(x)axx2x1(a1)，证明：方程 f(x)0 没有负数根【证明】假设 x0 是方程 f
6、(x)0 的负数根，则 x00，x01 且 ax0 x02x010，所以 ax0 x02x01.又当 x00 时，0ax01，故 0 x02x011，即 013x011,13x012，解得12x02.这与 x00 矛盾，所以假设不成立，故方程 f(x)0 没有负数根上一页返回首页下一页用反证法证明“至多”“至少”问题 已知 x，y，z 均大于零，求证：x4y，y4z，z4x这三个数中至少有一个不小于 4.【精彩点拨】本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明【自主解答】假设 x4y，y4z，z4x都小于 4，即 x4y4，y4z4，z4x4，上一页返回首页下一页于是得x4y y4z
7、z4x 12，而x4y y4z z4x x4x y4y z4z 2 x4x2 y4y2 z4z12，这与x4y y4z z4x 0，y0，且 xy2，求证：1yx 与1xy 至少有一个小于 2.【证明】假设1yx 与1xy 都不小于 2，即1yx 2，1xy 2.x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得 2(xy)2(xy)，xy2，这与已知中 xy2 矛盾，假设不成立，原命题成立故1yx 与1xy 至少有一个小于 2.上一页返回首页下一页探究共研型 用反证法证明“唯一性”命题探究 1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真(2)归
8、谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立上一页返回首页下一页探究 2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B，这样同时经过点 A，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点上一页返回首页下一页 已知一点 A 和平面.求证：经过点 A 只能有一条直线和平面 垂直【精彩点拨】上一页返回首页下一页(1)如图，点 A 在平面 内，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB，AC，那么 AB，AC 是
9、两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB平面，AC平面，a，所以 ABa，ACa，在平面 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾【自主解答】根据点 A 和平面 的位置关系，分两种情况证明上一页返回首页下一页(2)如图，点 A 在平面 外，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB 和 AC(B，C 为垂足)，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面，平面 和平面 相交于直线BC，因为 AB平面，AC平面，BC，所以 ABBC，ACBC.在平面 内经过点 A 有两条直线都
10、和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点 A 只能有一条直线和平面 垂直上一页返回首页下一页证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了 上一页返回首页下一页再练一题3若函数 f(x)在区间a，b上的图像连续不断，且 f(a)0，且 f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点【证明】由于 f(x)在a，b上的图像连续不断，且 f(a)0，即f(a)f(b)m，则 f(n)f
11、(m)，即 00，矛盾；若 nm，则 f(n)f(m)，即 0B，则 ab”的结论的否定应该是()Aab BabCabDab【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选 B.【答案】B上一页返回首页下一页4用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数 a，b，c 中无偶数”，正确的假设为_【解析】a，b，c 中无偶数，即 a，b，c 都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”【答案】a，b，c 中至少有一个偶数上一页返回首页下一页5若 a，b，c 互不相等，证明：三个方程 ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0 至少有一个方程有两个相异实根【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则 14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得 a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与 a，b，c 互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评 点击图标进入
