1、3.2.2直线的两点式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围(重点)2了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围(重点)3会用中点坐标公式求两点的中点坐标1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养2通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养1直线的两点式方程名称两点式方程已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2示意图直线方程适用范围斜率存在且不为零思考：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？提示不能，因为110，而0不能做分母
2、过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示2直线的截距式方程名称截距式方程已知条件在x，y轴上的截距分别为a，b且a0，b0示意图直线方程1适用范围斜率存在且不为零，不过原点思考：方程1和1都是直线的截距式方程吗？提示都不是截距式方程截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“”号连接，二是等号右边为1.3线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则1过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10 Dxy10D由直线的两点式方程，得，化简得xy10.2过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直
3、线方程是()A. 0 B. 0 C. 1 D. 1C由截距式得，所求直线的方程为1.3如图，直线l的截距式方程是1，则a_0，b_0.0，b0.4过两点(1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为_直线方程为，化为截距式为1，则在x轴上的截距为.直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2，7)，则直线l的方程为_(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3，4)的直线上，则m_(1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由直线方程的两点式得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m13
4、2，得m2.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程1在ABC中，已知点A(5，2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程解(1)设点C(x，y)，由题意得0，0.得x5，y3.故所求点C的坐标是(5，3).(2)点M的坐标是，点N的坐标是(1，0)，直线MN的方程是，即5x2y50.直线的截距
5、式方程【例2】求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程思路探究：解法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.当a0，b0时，设l的方程为1.点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy10.若ab，则a7，b7，此时直线的方程为xy70.当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0.法二：设直线l的方程为y3k(x4)，令x0，得y4k3；令y0，得x.直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等|4k3|，解得k1或k1或k.所求的直线方程为xy70或xy10或3x4y0.截距式方程应用的注
6、意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用2求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程解由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为yx；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为1，将点(5，2)代入方程得1，解得a，所以直线l的方程为x2y90.综上知，所求直线l的方程为yx或x2y90.直线方程的灵活应用探究问题1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？提示点斜式. 若
7、直线过两定点可选择两点式或点斜式2若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？提示可选择斜截式3若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？提示选择截距式较好【例3】已知A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程思路探究：(1)(2)解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y100(0x5).(2)设BC的中点M(a，b)，则a，b3，所以M，又BC边的中线过点A(3，2)，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.1本例中条件不变
8、，试求AB边上的高线所在直线方程解设AB边上的高线所在直线斜率为k，kAB，k，又高线过点C(0，2)，由点斜式方程得高线所在直线方程为y2(x0)，即4x3y60.2本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程解由探究1知kAB，即中位线所在直线斜率为，由例题知BC的中点为，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y3，即6x8y90.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴
9、的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决3已知直线l经过点(1，6)和点(8，8).(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积解(1)由已知得直线l的两点式方程为，所以，即x1，所以y62x2，即2xy8.所以1.故所求截距式方程为1.(2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OAOB，|OA|4，|OB|8，故SAOB|OA|OB|4816.故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程，此时
10、直线的方程分别是xx1和yy1，而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式2直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零1下列说法正确的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过任意两个不同的点P1(
11、x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示D斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.2经过点A(2，5)，B(3，6)的直线在x轴上的截距为()A2B3C27 D27D由两点式得，整理得x5y270.当y0时，x27.故应选D.3直线1在y轴上的截距是()A|b| Bb2Cb2 DbB令x0，得yb2.4直线2xy70在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则2ab的值为_14当x0时，y7，即b7；当y0时，x，即a.2ab2714.5求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解设直线方程的截距式为1.则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20.
