1、二次函数综合题2020年一模1某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图中的图象（1）图中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 ，其中自变量x的取值范围是 ；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上
2、午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图中图象的后半段一次函数的表达式【答案】（1）y=60x2；0x；（2）至少需要开放15个普通售票窗口；（3）y=50x+60.【分析】（1）设函数的解析式为y=ax2，把点（1，60）代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x2由图可知，自变量x的取值范围是0x（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可（3）求出普通窗口的函数解析式，从而求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可【详解】（1）设函数的解析式为y
3、=ax2，把点（1，60）代入解析式得：a=10，则函数解析式为. y=60x2（0x）（2）设需要开放x个普通售票窗口，普通售票窗口的函数解析式为y=kx，把点（1，80）代入得k=80，则y=80x，由题意得，80x+6051450，解得x14，x为整数，x=15，即至少需要开放15个普通售票窗口.（3）由（2）知普通售票窗口的解析式为y=80x.10点对应x=2，当x=2时，y=160，即上午10点每个普通窗口与每个无人售票窗口售出的车票数均为160张.由（1）得，当x=时，y=135，图2中的一次函数过点（，135）、（2，160），设一次函数的解析式为y=mx+n，把点（，135）、
4、（2，160）的坐标代入得，解得，则一次函数的解析式为y=50x+60.2某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y（件）的取值范围【答案】（1）y2x+160；（2）销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（
5、3）60y80【分析】（1）将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）800，解不等式即可得到结论【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：ykx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得： ，故函数的表达式为：y2x+160（30x50）；（2）由题意得：w（x30）（2x+160）2（x55）2+1250，20，故当x55时，w随x的增大而增大，而30x50，当x50时，w有最大值，此时，w1200
6、，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x30）（2x+160）800，解得：40x70，30x50 解得：40x50，当x40时，y240+16080； 当x50时，y250+16060，60y80【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润=w得出函数关系式是解题关键3如图，二次函数y=-x2+(n-1)x+3的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B(-2，0)(1)求二次函数的解析式；(2)点P是这个二次函数图像在第二象限内的一线，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点
7、C，求线段PC长度的最大值【答案】（1）；（2）【分析】（1）将点B坐标代入即可求出解析式；（2）先求出直线AB的解析式为，设点P的坐标为（x，），则点C的坐标为（， ），列出线段PC的关系式配方即可得到PC的最大值.【详解】（1）将点B（-2,0）代入y=-x2+(n-1)x+3中，得-4-2（n-1）+3=0，解得n=，；（2）当x=0时得y=3，A（0,3），设直线AB的解析式为y=kx+b，解得，直线AB的解析式为，设点P的坐标为（x，），由题意可知点C的纵坐标是，代入，则可得点C的坐标为（， ），因为C在P的右侧，PC=，因为点P是这个二次函数图像在第二象限内的一点，所以，当时，PC
8、长度的最大值是.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段PC列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键.4某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN3m，AM10m，MAN45），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，ABCD，C90设BCxm，四边形ABCD面积为S（m2）（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）Sx2+8x，0x3；（2）当x3时时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是 【分析】
9、（1）过D作DEAB于E，根据矩形的性质得到DEx，求得AEx，根据三角形和矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质，即可得到结论【详解】（1）过D作DEAB于E，BCxm，DExm，A45，AExm，SSAED+S矩形DEBCx2+（8x）xx2+8x，ABAE+EBx+（8x）8m，B点为定点，DE最大为3m，0x3；（2）Sx2+8x（x8）2+32，当x8时，S随x的增大而增大，0x3，当x3时，S取得最大值，S最大（38）2+32，答：当x3m时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的增减性，是解题的关键5某企业设计了一款
10、工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）【答案】（1）4000；（2）y=-5（50x100）；（3）销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元【分析】（
11、1）根据“利润=（售价-成本）销售量”即可求解；（2）根据“利润=（售价-成本）销售量”即可求得函数关系式，根据售价不小于50元即可确定x的取值范围；（3）先由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550）7000，通过解不等式来求x的取值范围，再把（2）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答即可【详解】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是：50+（100-70）5（70-50）=4000（元）（2）由题得y=50+5（100-x）（x-50）=-5由x50，100-x50解得50x100y=-5（50x100）（3）该企业每天
12、的总成本不超过7000元5050+5（100-x）7000解得x82由（2）可知50x10082x100 抛物线y=-5的对称轴为x=80且a50抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小当x82时，y最大4480，即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元6为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元超市规定每盒售价不得少于45元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少
13、元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）y=20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3
14、）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解【详解】解：（1）由题意得，=；（2）P=，x45，a=200，当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得=6000，解得，抛物线P=的开口向下，当50x70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又x58，50x58，在中，0，y随x的增大而减小，当x=58时，y最小值=2058+1600=
15、440，即超市每天至少销售粽子440盒【点睛】考点：二次函数的应用7如图，已知二次函数的图像经过，两点（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）当为何值时，？（3）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，当矩形为正方形时，求点的坐标【答案】（1），直线；（2）当时，；（3）点坐标为：【详解】解：（1）二次函数的图像经过，两点，解得：，对称轴为：直线（2）当，抛物线与轴交点坐标为：，当时，；（3）当矩形为正方形时，假设点坐标为，点坐标为，即：，对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，解得：，（不合题意舍去），时，点坐标为：8某市在党
16、中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元（毛利润销售额生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多
17、可获得多少万元的毛利润？【答案】（1）y=x2，z=x+30；（2）W=x2+30x，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得1080万元的毛利润.【分析】（1）结合图象，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销售额生产费用可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根据图象结合y的取值范围，求得x的取值范围，再由二次函数的性质即可解答.【详解】（1）图可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y=ax2（a0），将点（100，1000）代入得：1000=1000
18、0a，解得：a=，故y与x之间的关系式为y=x2图可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z=kx+b，则解得： 故z与x之间的关系式为z=x+30；（2）W=zxy=x2+30xx2=x2+30x=（x2150x）=（x75）2+1125，0，当x=75时，W有最大值1125，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y=360，得x2=360，解得：x=60（负值舍去），由图象可知，当0y360时，0x60，由W=（x75）2+1125的性质可知，当0x60时，W随x的增大而增大，故当x=60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元【点睛
19、】本题考查了二次函数的应用，根据题意构造二次函数模型，利用二次函数的性质解决问题是解此类题目的基本思路.9某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg经市场调查发现：该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：售价(元/)203040日销售量()806040(1)求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)为多少时，当天的销售利润 (元)最大?最大利润为多少?(3)由于产量日渐减少，该商品进价提高了元/，物价部门规定该商品售价不得超过36元/，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若日销售最大利润是864元
20、，求的值【答案】（1）；（2）当售价是38元/kg时，日销售利润最大，最大利润是968元；（3）【分析】（1）设一次函数为，利用待定系数法求解即可；（2）先根据题意列出w关于x的函数关系式，再根据二次函数的图像性质计算即可（3）先通过二次函数关系式求得对称轴为结合售价不得超过36元/可得到当x=36时日销售利润取得最大值是864元，由此列出方程求解即可【详解】解：（1）依题意设，则有，解得：，所以y关于x的函数解析式为； （2），当售价是38元/kg时，日销售利润最大，最大利润是968元； （3）根据题意得：整理得：对称轴为，又，函数图象开口方向向下，当时，w取最大值为864，即，解得：【点睛
21、】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值问题的方法注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值10经销商购进某种商品，当购进量在20千克50千克之间(含20千克和50千克)时，每千克进价是5元；当购进量超过50千克时，每千克进价是4元此种商品的日销售量y(千克)受销售价x(元/千克)的影响较大，该经销商试销一周后获得如下数据：x(元/千克)55.566.57y(千克)9075604530解答下列问题：(1)求出y关于x的一次函数表达式：(2)若每天购进的商品能够全部销售
22、完，且当日销售价不变，日销售利润为w元，那么销售价定为多少时，该经销商销售此种商品的当日利润最大？最大利润为多少元？此时购进量应为多少千克？(注：当日利润(销售价进货价)日销售量)【答案】（1）y=-30x+240（2）当销售价为6元时，经销商销售此种商品的当日利润最大，最大利润为120元，此时购进量应为60千克【分析】（1）根据待定系数法即可求解y关于x的一次函数表达式；（2）先根据题意列出w关于x的二次函数，求出其最值，故可求解【详解】（1）设y关于x的一次函数表达式为y=kx+b（k0）把（5,90），（6,60）代入得解得y关于x的一次函数表达式为y=-30x+240；（2）当购进量在
23、20千克50千克之间(含20千克和50千克)时，w1=（x-5）(-30x+240)=-30（x-6.5）2+67.5,-300，x=6.5时，y=45kg, 日销售利润为67.5元；当购进量超过50千克时，w2=（x-4）(-30x+240)=-30（x-6）2+120,-300，x=6时，y=60kg, 日销售利润为120元；答：当销售价为6元时，经销商销售此种商品的当日利润最大，最大利润为120元，此时购进量应为60千克【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数进行求解11某水果连锁店销售某种热带水果，其进价为20元/千克销售一段时间后发现：该水果的日销量
24、（千克）与售价（元/千克)的函数关系如图所示：（1）求关于的函数解析式；（2）当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？（3）由于某种原因，该水果进价提高了元/千克（），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若日销售最大利润是元，请直接写出的值【答案】（1）（2）售价为元/千克时，使得当日获得的利润最大是元（3）【分析】（1）依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（2）根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论【详解】解：（1）由图象可知是的一次函
25、数：设，则解得，（2）设售价为元/千克时，日销售利润为元，抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，（元）答：售价为元/千克时，使得当日获得的利润最大是元（3）根据题意得，w=（x-20-m）（-2x+160）=-2x2+（200+2m）x-3200-160m，对称轴x= ，当时（舍），当时，x=40时，w取最大值为1280，解得：m=4.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值12为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，
26、企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售量（袋）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：（1）老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？（2）设老李获得的利润为（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？【答案】（1）政府这个月为承担的总差价为156元；（2）当销售单
27、价定为21元时，每月可获得最大利润243元；（3）销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为72元【分析】（1）把x17代入y3x90求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润销售量每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出销售单价及最大利润；（3）令，求出x的值，求出利润的范围，然后根据一次函数的性质求出总差价的最小值【详解】解：（1）当时，即政府这个月为承担的总差价为156元；（2）依题意得，当时，有最大值243，即当销售单价定为21元时，每月可获得最大利润243元；（3）由题意得：，解得：，抛物线开口向下，当时，设政府每个
28、月为他承担的总差价为元，随的增大而减小，当时，最小，即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为72元【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确相应的函数性质是解题的关键13如图，已知二次函数yax2+bx+c图象与坐标轴交于B、C、D三点，点B的坐标为(1，0)且OCOD3OB（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧且MNx轴，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，求该四边形MNHG周长的最大值；（3）当四边形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是四
29、边形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x+3；（2）10；（3）存在，或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由l2MN+2MG，即可求解；（3）PNC的面积CDd，PNC的面积是四边形MNHG面积的，解得PF，进而求解【详解】（1）点B的坐标为（1，0），OCOD3OB3，点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C、D的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x1，设点M的坐标为（x，x2+2x+3），点M、N关于抛物线对称轴对称，故点N的坐标为（2x，x2+2x+3），
30、设四边形MNHG周长为l，则l2MN+2MG，20，故l存在最大值，当x2时，l的最大值为10；（3）存在，理由：由（2）知，x2时，点N的坐标为（0，3），即点N、D重合（以下用点D代替点N），如下图， 则点M的坐标为（2，3），则四边形MNHG面积为236，连接CD，过点P作y轴的平行线交CD于点F，过点P作PECD于点E，OCOD，则OCDODC45，则EPF45，故PFPE，设PEd，由C、D的坐标得，CD3，则PNC的面积CDd，PNC的面积是四边形MNHG面积的，3d6，即36，解得PF，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为 ，设点P的坐标为 ，则点F ，则，解得：或或，故点P的横坐标为或或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，构造新的二次函数，求二次函数的最值，一元二次方程与二次函数的关系，正确的求解计算是解题关键
