1、二次函数压轴题（2021年二模）1已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点两点与轴交于点、且抛物线的对称轴为直线（1）求抛物线的解析式；（2）在以线上方的抛物线线上有一动点，过点作轴垂足为，交直线于点.是否存在点使得取得最大值，若存在，请求出它的最大值以及点的坐标：若不存在，请说明理由（3）在的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，此时的对应点为为平移后抛物线对称轴上的一动点是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）有最大值，且最大值为4，此时P（2,3）；（3）M点坐标为（-1,2）,（-1,5+）
2、，(-1,5-)【分析】（1）根据A点以及对称轴求出B点，再利用待定系数法即可解出二次函数解析式；（2）过点Q作QEy轴，交y轴于点E，设P点坐标为（m，-m2+2m+3），用m表示出，得到关于m的二次函数，再用二次函数性质即可求得最大值；（3）先求出平移后的抛物线解析式，求出PP长度，再设M（-1，a），用a表示出PM,PM,再对等腰三角形分情况列出方程解出a即可【详解】解：（1）A（1,0），且抛物线的对称轴为直线x=1B点坐标为（3,0）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3）把C（0,3）带入得3=-3a，解得a=-1，即二次函数解析式为y=-x2+2x+3（2）如图，过点Q作QE
3、y轴，交y轴于点EB（3,0），C（0,3）OCB=45，直线BC 的函数解析式为y=-x+3设P点的坐标为（m，-m2+2m+3）（0m3），则Q（m，-m+3）PQ=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m当m=2时，有最大值，且最大值为4，此时P（2,3）（3）直线BC 的函数解析式为y=-x+3，且抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把抛物线先往左边移动2个单位，再往上移动2个单位原抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4平移后抛物线解析式为y=-（x+1）2+6，且P（0,5），平移后对称轴为x=-1PP=2设M（-1，a），则PM=，PM=为等腰三角形当PP=P
4、M时，2=，无解当PP=PM时，2=，解得a=5当PM=PM时，=，解得a=2综上M点坐标为（-1,2）,（-1,5+），(-1,5-) 【点睛】本题考查二次函数的综合，第三问解题关键在于能够求出平移后的抛物线解析式，同时能够对等腰三角形进行分类讨论也是解题关键2如图，已知抛物线与直线相交于点和点（1）求该抛物线的解析式；（2）设为直线上方的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（），平移后的抛物线与原抛物线相交于点，是否存在点使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=-x2+4x+1；（2）
5、（，）；（3）（4，3），（-2，5）或（3，0），（-3，2）【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PAB面积，即可求解（3）求出两抛物线的交点D的坐标，分两种情况讨论：当点D为直角顶点时，当点A为直角顶点时，分别求解即可【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得：抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1；（2）设直线AB的表达式为：y=kx+t，将点A、B的坐标代入解得故直线AB的表达式为：y=x+1，过点C作y轴的平行线交AB于点H，设点C（x，-x2+4x+1），则H（x，x+1），PAB面积S有最大值，当时，S的最大值为此时点C坐标为（，）；（
6、3）抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1=-（x-2）2+5，则平移后的抛物线表达式为：y=-x2+5，联立上述两抛物线的解析式并解得：故点D（1，4）；当点D为直角顶点时，是以为腰的等腰直角三角形HDE+IDA=90，AD=ED过点D作x轴的平行线，过点E作EHDH，则DHEDIA=90，HDE+DHE=90，IDA=DHE，ID=HE=1，AI=DH=3，点E坐标为（4，3）或（-2，5）；当点A为直角顶点时，同理可证，OF=AI=3，点E坐标为（3，0），（-3，2）；【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，直角三角形的存在性等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，图象的交点坐标的
7、求法等3如图，若抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线yx3经过点B，C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，交BC于点M，连接PC线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3；（2）有，；存在，(2，3)或(3，24) 【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）根据PM（x3）（x22x3）
8、（x）2+即可求解；分PMPC、PMMC两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）对于yx3，令x0，y3，y0，x3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设：点M（x，x3），则点P（x，x22x3），有，理由：PM（x3）（x22x3）（x）2+，10，故PM有最大值，当x时，PM最大值为：；存在，理由：PM2（x3x2+2x+3）2（x2+3x）2；PC2x2+（x22x3+3）2；MC2（x3+3）2+x2；（）当PMPC时，则（x2+3x）2x2+（x22x3+3）2，解得：x0或2（舍去0
9、），故x2，故点P（2，3）；（）当PMMC时，则（x2+3x）2（x3+3）2+x2，解得：x0或3（舍去0和3+），故x3，则x22x324，故点P（3，24）综上，点P的坐标为：(2，3)或(3，24)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.（1）求直线的解析式.（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.（3）点是线段的
10、中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为或或或. 【分析】（1）求出点A、B、E的坐标，设直线的解析式为，将点A和点E的坐标代入即可；（2）先求出直线CE解析式，过点P作轴，交CE与点F，设点P的坐标为，则点F，从而可表示出EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M，当点O、N、M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值GH，
11、利用勾股定理求出GH即可； (3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为三种情况讨论求解即可.【详解】解：（1）当时， 设直线的解析式为，将点A和点E的坐标代入得 解得 所以直线的解析式为.（2）设直线CE的解析式为，将点E的坐标代入得: 解得: 直线CE的解析式为如图，过点P作轴，交CE与点F设点P的坐标为，则点F则FP 当时，EPC的面积最大，此时 如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点， OD1，OC3 K是BC的中点，OCB60 点O与点K关于CD对称点G与点O重合点G(0，0)点H与
12、点K关于CP对称点H的坐标为 当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值GH 的最小值为3.（3）如图经过点D，的顶点为点F点 点G为CE的中点， 当FGFQ时，点或 当GFGQ时，点F与点关于直线对称点 当QGQF时，设点的坐标为 由两点间的距离公式可得：，解得 点的坐标为综上所述，点Q的坐标为或或或【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质的应用，涉及的知识点主要有待定系数法求一次函数的解析式、三角函数、勾股定理、对称的坐标变换、两点间的距离公式、等腰三角形的性质及判定，综合性较强，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.5如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与
13、轴交于点，连接，已知，点（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上，两点间有一动点，点为线段的中点，连接、，求四边形面积的最大值；（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线对称轴交于点，点为直线上的一个动点，为平面内任意一点，请直接写出点的横坐标，使得以点，为顶点构成的四边形是以为边的菱形【答案】（1）；（2）10；（3）点的横坐标为l或或或 【分析】（1）由抛物线的解析式可得点C的坐标，由即可得点A的坐标，根据待定系数法，可求得函数解析式；（2）连接BC，过P点作轴，交直线于点，则，而BCE的面积等于BAE的面积，且为定值，从而BPC面积取最大值时，四边形面积也
14、取得最大值，设点，则可把BPC的面积用t的代数式表示出来，是一个关于t的二次函数，求最值即可；（3）将抛物线沿CA方向平移个单位长度，可以把物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度来实现，因此可求得平移后的抛物线解析式，进而求得点F的坐标，然后分类讨论：当BF=BG时；当BF=FG时，设点G的坐标为(m,1)，则可表示出BG、FG，从而可求得m的值；【详解】（1）对于，令x=0，得y=-4，即OC=4，且C(0,-4) OA=2，且A(2,0)把B、A的坐标代入抛物线解析中，得： （2）连接，则设点直线：，作轴，交直线于点，则，图像开口向下当时，有最大值，最大值为4四边形的面积最大值
15、为（3）抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿CA方向平移个单位长度，可以是把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度实现，则抛物线的顶点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后为新抛物线的解析式为当x=-1时，即原抛物线的对称轴与新抛物线的交点F的坐标为(-1,-2) 设点G的坐标为(m,1)，则， 若BG=BF，则，解得：，若BF=FG，则 ，解得：m=-3，m=1点的横坐标为1或或或【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，图形面积的最值，图形的平移，菱形的性质等知识，涉及的数学思想有转化思想，函数思想，方程思想，数形结合思想等，
16、属于中考的压轴题型6如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2（a0）与x轴交于A（2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是第三象限内抛物线上一个动点，连接AC，过点D作DEAC于点E，求线段DE最大值及此时点D的坐标；（3）将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y抛物线y与抛物线y交于点F，连接CF，若点P是x轴上一动点，是否存在这样的点P，使得PCBOCF，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+x2；（2）DE的最大值，此时点D的坐标为（1，2）；（3）存在这样的点P，点P的坐标为P（2，0）或P（，0） 【分
17、析】（1）由题意把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）根据题意过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，求出直线AC的解析式，可得PED是等腰直角三角形，设出点D的坐标，从而得到点P的坐标，表示出PD的长，根据二次函数的最值即可求解；（3）根据题意分点P在CF的左侧，点P在CF的右侧两种情况讨论求解即可【详解】解：（1）把点A（2，0）、B（1，0）分别代入yax2+bx2，得，解得：，所以抛物线的解析式为：yx2+x2；（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，如图1，将x0代人yx2+x2中，得y2，C（0，2）设直线AC的解析式为
18、ymx+n，将点A（2，0），C（0，2）代人ymx+n中，得，解得：，直线AC的解析式为yx2OAOC2，AOC90，ACO45PDx轴，PDCF，DEAC，DPEACO45，PED90，PED为等腰直角三角形DEPEPD设点D的坐标为（k，k2+k2），则点P的坐标为（k，k2），PDk2（k2+k2）k22k（k+1）2+110，当k1时，PD有最大值1，此时DE的值也最大为，k2+k22，此时点D的坐标为（1，2）；（3）将抛物线向右平移5个单位得到抛物线yy（x5）2+（x5）2x29x+18，抛物线y与抛物线y交于点F，F（2，4），C（0，2）tanOCF，点P在CF的右侧时，如
19、图：过点P作PMCF于M，设BMx，B（1，0），C（0，2），OC2，OB1，BC，COBPMB，OBCMBP，OBCMBP，PM2x，PCBOCF，tanOCF，tanPCB，解得：x，BMx，PM2x，BPx1，OPOB+BP1+12，P（2，0）；点P在CF的左侧时，如图：过点P作PNCF于N，设BNx，PBCBPN，COBPBN90，COBPBN，PN2x，PCBOCF，tanOCF，tanPCB，解得：x，BNx，PN2x，BPx，OPOBBP1，P（，0）；综上，存在这样的点P，点P的坐标为P（2，0）或P（，0）【点睛】本题属于二次函数的综合题型，考查二次函数图象与性质，待定系
20、数法确定函数解析式，图形的平移，相似三角形的判定及性质，三角函数等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系7在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点与轴交于，两点（点在点的左侧），其中，并且抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴交于点连接，求四边形面积的最大值及点的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得新抛物线，是否在新抛物线上存在点，在平面内存在点，使得以，为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）时，最大为，点P的坐标
21、为(3，)；（3）存在，新抛物线的顶点坐标为(5，2)或(3，-1)或(，) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）要使S四边形CPDE最大，则PE最大，设P(t，t2+t+3)，则E(t，t+3)，利用二次函数的性质求解即可；（3）分情况讨论，当AC为正方形ACMN的边时，当AC为正方形ACNM的边时，当AC为正方形AMCN的对角线时，分别作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质以及二次函数的平移规律解答即可【详解】解：（1）因为抛物线过点A(2，0)和D(4，3)，解得：，抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴为，则顶点坐标为(2，4)，点A(2，0)，点B(6，0)，令，则，C(0，
22、3)，又D(4，3)，DC/x轴，PECD，S四边形CPDE=PECD，S四边形CPDE最大，即PE最大，设直线BC的解析式为，直线BC的解析式为，设P(t，t2+t+3)，则E(t，t+3)，PE=t2+t=，t=3时，S四边形CPDE最大为，此时P的坐标为(3，)；（3）A(2，0)，C(0，3)，OA=2，OC=3，AC=，当AC为正方形ACMN的边时，如图，则MN=MC=AN=AC，过M作MG轴于G，过N作NQ轴于Q，ACMN为正方形，ACM=CAN=90，ACO+GCM=CAO+QAN=CAO+ACO =90，QAN+ANQ =90，GCM=OAC=QNA，RtGCMRtOACRtQ
23、NA，GC=OA=QN=2，GM=OC=QA=3，M(3，1)，N(1，2)，经过点M的新抛物线是原抛物线平移得到的，原抛物线的顶点坐标为(2，4)，由平移的性质得，新抛物线的顶点坐标为(2+3，4-2)，即(5，2)；当AC为正方形ACNM的边时，如图，同理求得， N(3，1)，M(1，2)，同理，新抛物线的顶点坐标为(2+1，4-5)，即(3，-1)；当AC为正方形AMCN的对角线时，如图，则AM=MC=CN=AN，CMA=90，过M作MF轴于F，过M作MH轴于H，四边形MFOH为矩形，MFAO，FMA=MAH，CMF+FMA=90，CMF+MCF=90，MAH=MCF，RtMAHRtMC
24、F，AH=CF，MH=MF， 四边形MFOH为正方形，设正方形MFOH的边长为x，AO+OH=CO-OF，即2+x=3-x，解得：，点M的坐标为(，)，同理，新抛物线的顶点坐标为(2+，4-)，即(，)；综上，新抛物线的顶点坐标为(5，2)或(3，-1)或(，)【点睛】本题是二次函数综合题，需要掌握待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，勾股定理，二次函数的平移等知识点，正确的作出辅助线、分类讨论是解题的关键8如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B且与y轴交于点C（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D
25、(x，y)(其中x0，y0)，且，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2） 【分析】（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；（3）因为SABD=SABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；（4
26、）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解【详解】解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：-9+6+m=0，m=3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；当x=0时，y=3，C（0，3），当y=0时，-x2+2x+3=0，x2-2x-3=0，（x+1）（x-3）=0，x=-1或3，B（-1，0）；（3）SABD=SABC，当y=3时，-x2+2x+3=3，-x2+2x=0，x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或2，只有（2，3）符合题意综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABPQ，AO=OC=3，故PAB=45，矩形ABPQ为正方形，故点Q的坐标为（3，4）；当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，-2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏
