1、第二课时 直线与椭圆的位置关系 【课标要求】1.理解直线与椭圆的位置关系.2.掌握直线与椭圆位置关系的判断方法.3.会用代数方法解决椭圆的弦长问题、中点弦问题.自主学习 基础认识|新知预习|1点与椭圆的位置关系点 P(x0，y0)与椭圆x2a2y2b21(ab0)的位置关系：点 P 在椭圆上x20a2y20b2 1；点 P 在椭圆内部x20a2y20b2 1；点 P 在椭圆外部x20a2y20b2 1.2直线与椭圆的位置关系设直线方程为 ykxm，与椭圆方程x2a2y2b21(ab0)联立，消去 y 得关于 x 的一元二次方程 Ax2BxC0(A0)(1)直线与椭圆有两个公共点直线与椭圆相交(
2、2)直线与椭圆有一个公共点直线与椭圆相切(3)直线与椭圆无公共点直线与椭圆相离00b0)交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2 x1x224x1x211k2 y1y224y1y2.|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)点(1,1)在椭圆x22y21 内()(2)直线 yx1 与椭圆x24y21 有 2 个交点()答案：(1)(2)2直线 yx1 与椭圆x25y241 的位置关系是()A相交 B相切C相离D无法判断解析：方法一 直线过点(0,1)，而 0140，所以直线与椭圆相交 答案：A3若直线 kxy30 与椭圆x216y241 有两个公共点，则实
3、数 k 的取值范围是()A 54 k 54 或 k 54 Dk0，即 k 54 或 k 54 时，直线与椭圆有两个公共点 答案：C4已知椭圆x225y2161，过椭圆的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，则|AB|_.解析：在椭圆x225y2161 中，a5，b4，所以|AB|2b2a 2425325.答案：325课堂探究 互动讲练类型一 直线与椭圆的位置关系例 1 对不同的实数值 m，讨论直线 yxm 与椭圆x24y21 的位置关系【解析】由yxm，x24y21，消去 y，得x24(xm)21，整理得 5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当
4、 5m0，直线与椭圆相交；当 m 5或 m 5时，0，直线与椭圆相切；当 m 5时，0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0)，与直线方程 3xy20 联立得x2my2m501，3xy20，消去 y 并整理得(10m50)x212mxm246m0.由弦的中点的横坐标为12，可得12m10m501，解得 m25.所以椭圆方程为x225y2751.选 C.答案：C类型四 与椭圆有关的综合问题例 4 已知椭圆x22y21 上两个不同的点 A，B 关于直线ymx12对称(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1
5、mxb.由x22y21，y1mxb消去 y，得12 1m2 x22bmxb210.因为直线 y1mxb 与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以 2b22 4m20.将线段 AB 中点 M2mbm22，m2bm22 代入直线方程 ymx12解得 bm222m2.由得 m 63.(2)令 t1m 62，0 0，62，则|AB|t212t42t232t212，且 O 到直线 AB 的距离为 dt212t21.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)12|AB|d 122t2122222，当且仅当 t212，即 m 2时，等号成立 故AOB 面积的最大值为 22.方法归纳解决与椭圆有关的最值问
6、题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围.跟踪训练 4 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 e 32，A，B 分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M 为 AB 的中点，O 为坐标原点，且|OM|52.(1)求椭圆的方程；(2)过(1,0)的直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，求POQ 的面积的最大时直线 l 的方程解析：(1)设椭圆的半焦距为 c，则 a2b2c2，a2b25，ca 32，解得 a2，b1，c 3，所以椭圆的方程为x24y21.
7、(2)设交点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，则 S 32.当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)(k0)，联立椭圆方程x24y21，得(4k21)x28k2x4(k21)0，两个根为 x1，x2，x1x2 8k24k21，x1x24k214k21，则|PQ|1k2|x1x2|1k24 3k214k21(k0)又原点到直线 l 的距离 d|k|1k2，所以 S12|PQ|d 121k24 3k214k21|k|1k22 3k21k24k21(k0)23k4k216k48k2123168k231616k48k21h，故点 P
8、的个数为 3 个故选 D.答案：D3直线 yxm 被椭圆 2x2y22 截得的线段的中点的横坐标为16，则中点的纵坐标为_解析：方法一 由yxm，2x2y22，消去 y 并整理得 3x22mxm220，设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22m3，2m3 13，解得 m12.由截得的线段的中点在直线 yx12上，得中点的纵坐标 y161213.方法二 设线段的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 2x21y212,2x22y222.两式相减得 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.把y1y2x1x21，x1x213代入上式，得y1y2213，则中点的纵坐标为13.答案：13
