1、江苏省扬州市宝应县2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题：(本大题9小题，共45分)1.若复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接利用复数模的计算公式即可得结果.详解：，则，故选A.点睛：本题主要考查复数模的计算公式，意在考查对基本公式的掌握情况，属于简单题.2.如果（，表示虚数单位），那么( )A 1B. C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可
2、求出答案3.已知函数的导函数为，且满足，则为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导，即可得出.【详解】，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题.4.下列求导运算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.【详解】函数可看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.5.用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）A. B. C. D. 1【答
3、案】A【解析】【分析】先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.【详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，所以左边增加的项数为.故选A【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.二项式展开式中的常数项是A. 180B. 90C. 45D. 360【答案】A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项是，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题7.某高
4、校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()A. 45种B. 56种C. 90种D. 120种【答案】A【解析】【分析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数.【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问
5、题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数.8.由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】分两类：一、若五位数的个位数是，则有种情形；二、若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理可得种情形由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为，应选答案B 9.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据可知，令为增
6、函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.考点：函数导数与不等式，恒成立问题二、多选题：(本大题3小题，共15分)10.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据选项的特点，采用赋值法求解.【详解】因为，令得，故A正确.令得，故C正确.故选:AC【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值法，属于中档题.，11.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. -3是的一个极小值点；B. -2和-1都是的极大值点；C. 的单调递增区间是；D. 的单调递减区间是【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调
7、性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反12.已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256B. 展开式中第6项的系数最大C. 展开式中存在常数项D. 展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的
8、对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选: BCD【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.三、填空题：(本大题4小
9、题，共20分)13._【答案】31【解析】【分析】由题意结合组合数公式计算所给的式子即可.【详解】由题意可得：.故答案为31【点睛】本题主要考查组合数的计算，属于基础题.14.函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：导数的几何意义.15.设，若的内角满足，则=_.【答案】【解析】【分析】低次求导，归纳出一般的规律，然后代入已知等式计算【详解】由已知，是周期数列，周期为4，且，又是三角形内角，故答案为：【点睛】本题考查三角函数的求导公式，考查归纳法，解题关键是从开始，依次求出导数，得出的周期性16.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是_【答案
10、】【解析】【分析】若f（x）无最大值，则，或，解得答案【详解】f（x），令f（x）0，则x1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a（，1）故答案为 【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.四、解答题(本大题6小题，共70分)17.（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2）.【解析】分析：灵活运用排列组合公式详解：（1）（+）=；（2）3=2+6，3x（x1）（x2）=2x（x+1）+6x（x1），化简得3x217x+10=0，解得x=5，x=（不合题意，舍去）；x=5点睛：本题主要考查了组合及组合数、排列公式的灵活应用，考查学生的计算能力
11、，属于基础题18.已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的极值.【答案】(1) xy20；(2) 当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数
12、f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值19.已知数列满足，.（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，；当时，；当时，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，当时，显然成立，假设当时猜想成立，即，由题意得，当时猜想也成立；由和，可知猜想成立，即.点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利
13、用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.20.毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析】（1）利用插空法可求出排法种数；（2）利用捆绑法可求出排法种数；（3）分两种情况讨论：若在排尾；若不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案.【详解】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，因此，排法种数为；（3）分以下两种情况讨论：若在排尾，则剩
14、下的人全排列，故有种排法；若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.综上所述，共有种不同的排法种数.【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.21.如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为.（1）设，将表示为关于的函数；设，将表示为关于的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系
15、式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）延长交于点，利用解直角三角形可得且. （2）选取中的函数关系式，利用导数可求其最小值.【详解】（1）延长交于点，则，且为的中点，所以，由对称性可知，.若，则，中，所以，若，则，在中，所以，所以.（2）选取中的函数关系式，记，则由及可得，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以当时，取得最小值，从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省.【点睛】本题为应用题，主要考查数学建模和解模，注意建模时要依据图形特征选择合适的构建方法并关注自变量的范围，解模时可以依据模型的函数特点选择合适的解模方法（如基本不
16、等式、导数等）.22.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）求，当时，求出的解，进而得到单调区间，求出极小值，最小值； （2）求出的根，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；（3）求出，得到在单调区间，求出在的最值，转化为在上至少有两个不同的根，分离参数得到，求出与函数图象至少有两交点时，的取值范围.【详解】（1），当时，单调递减区间为，单调递增区间为，时，取得极小值，也是最小值，的最小值为；（2）当时，令或，若时，恒成立，函数单调递减区间是，若时，当或时，当时，即函数递减区间是，递增区间是，若时，当或时，当时，即函数递减区间是，递增区间是，综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间若时，函数的递减区间是，递增区间是，若时，函数的递减区间是，递增区间是；（3）当时，设函数，则，设，当时，为增函数，在为增函数，在区间上递增，函数在上的值域为，在上至少有两个不同的根，即，令，令，则恒成立，在递增，当时，当时，所以单调递减，在单调递增，当，即实数的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，零点，构造函数是解题的关键，考查了分类讨思想及逻辑推理、运算求解能力，属于较难题.
