1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020山西朔州一模)若2x+2xn的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数n的值为() A.7B.6C.5D.4答案C解析2x+2xn的二项展开式中二项式系数和为2n,2n=32,n=5.2.(2020北京朝阳期末)一般地,一个程序模块由许多子模块组成,一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块,则该程序模块的不同的执行路径的条数是()A.6B.14C.49D.84答案C解析根据分类分步计数原理可得(
2、2+2+3)(4+3)=49(种).3.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个答案A解析由题意知,b只能从1,2,3,4,5,6中选一个数字,有6种选法,a从剩余的6个数字中选一个数字,共6种选法,故满足题意的虚数有66=36(个).4.2x-1x23的展开式中的常数项为()A.-6B.-2C.2D.6答案A解析2x-1x23的展开式的通项Tk+1=(-1)k(2)3-kC3kx3-3k,令3-3k=0,得k=1,故展开式中的常数项为-6.5.(2020四川绵阳期末)设(1+2x)5=a0+a1x+
3、a2x2+a5x5,则a1+a3+a5=()A.61B.121C.122D.224答案C解析(1+2x)5=a0+a1x+a4x4+a5x5,令x=1,得(1+21)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=243;令x=-1,得1+2(-1)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1.a1+a3+a5=12(243+1)=122.6.(2020河北衡水模拟)(x2+x+1)x-2x5的展开式中的常数项为()A.40B.-80C.120D.140答案B解析x-2x5的展开式的通项为Tk+1=C5k(-2)kx5-2k,(x2+x+1)x-2x5的展开式中的常数项为-80.7.(2020山东聊城
4、二模)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”(“两不愁”即不愁吃、不愁穿,“三保障”即义务教育、基本医疗、住房安全有保障),某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三个县进行帮扶,则不同的派出方法种数为()A.15B.60C.90D.540答案C解析先把6个人平均分成3组,有C62C42C22A33=15种方法,再把这3组分派到甲、乙、丙三个县,有A33种方法,则有15A33=90种方法.8.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,现将杨辉三角中的数换为正整数,形成三角数表,并按如图规律排列(例如9为第4行第3列,12为第5行第4列),则2 019为()A.第
5、63行第5列B.第63行第3列C.第64行第6列D.第64行第3列答案D解析由题意及图形知,第n行有n个数(nN+),奇数行的数字从左向右递减,偶数行的数字从左向右递增,在该图中,前n(nN+)行共有n(n+1)2个数.63642=2 0162 019,在前63行,共有2 016个数,此时2 019位于第64行.偶数行的数字从左向右递增,第2 019为第64行第3列.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列等式正确的是()A.Cnm=Cnn-mB.Cmm+Cmm-1=Cm+1mC.C5
6、1+C52+C53+C54+C55=25D.Cn+1m=Cnm-1+Cn-1m+Cn-1m-1答案ABD解析由组合数的运算性质知:C50+C51+C52+C53+C54+C55=25,故C不正确,而A,B,D正确.10.下列关于(a-b)10的说法,正确的是()A.展开式中的二项式系数之和是1 024B.展开式的第6项的二项式系数最大C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小答案ABD解析由二项式系数的性质知C100+C101+C102+C1010=210=1 024,故A正确;二项式系数最大的项为C105,是展开式的第6项,故B正确,C错误;由展开式的通项为Tk+
7、1=C10ka10-k(-b)k=(-1)kC10ka10-kbk知,第6项的系数为-C105最小,故D正确.11.(2020江苏连云港期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则下列说法正确的是()A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法答案CD解析根据题意,依次分析选项:对于A,某学生从中选3门,6门中选3门共有C63=
8、20(种),故A错误;对于B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有A44A52=480种排法,故B错误;对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,由捆绑法分析,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有A33A44=144种排法,故C正确;对于D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有A55种排法,若课程“乐”不排在最后一周,有C41C41A44种排法,则共有A55+C41C41A44=504种排法,故D正确.12.某中学为提升学生劳动意识和社会实
9、践能力,利用周末进社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加并不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是()A.若1班不再分配名额,则共有C204种分配方法B.若1班有除劳动模范之外学生参加,则共有C195种分配方法C.若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法D.若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法答案BD解析对于A,若1班不再分配名额,则20个名额分配到5个班级,每个班级至少1个,根据插空法,有C194种分配方法,故A错误;对于B,若1班有除劳动模范之外学生参加,则20个名额分配到6个班级,每个班极至少1个,根据插
10、空法,有C195种分配方法,故B正确;对于CD,若每个班至少3人参加,相当于16个名额被占用,还有4个名额需要分到6个班级,分5类:4个名额到一个班,有6种;一个班3个名额,一个班1个名额,有A62=30(种);两个班都是2个名额,有C62=15(种);两个班1个名额,一个班2个名额,有C61C52=60(种);四个班都是1个名额,有C64=15(种),则共有126种,故C错误,D正确.故选BD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若6Cn2=An3,则正整数n=.答案5解析若6Cn2=An3,则6n(n-1)21=n(n-1)(n-2),求得n=5.14.(2020江苏泰州
11、期末)在某市举办的中学生运动会上,将4名同学全部分配到田径、游泳和球类3个不同比赛项目做志愿者,共有种不同分配方法;若每个项目至少需要1名志愿者,则不同的分配方法有种(用数字作答).答案8136解析对于第一空:每个学生都可以被分配到运动会的田径、游泳和球类3个不同比赛项目中的一个,有3种分配方法,则4名同学有3333=81种分配方法;对于第二空:分2步进行分析:先将4名同学分成3组,有C42=6种分组方法,将分好的三组全排列,安排到3个不同比赛项目,有A33=6种情况,则有66=36种不同的分配方法.15.(2020福建三明二模)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为20,则a=.
12、答案2解析已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+C51x+C52x2+C53x3+C54x4+C55x5),展开式中x2的系数为C52+aC51=20,求得a=2.16.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有种不同取法.(用数字作答)答案90解析因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串两个灯取下的顺序确定,问题转化为求六个元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列数,先将六个元素全排列共有A66种排法,因为甲乙顺序确定,丙丁顺序确定,戊己顺序确定,所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为A66A22A22A22=720
13、222=90,即取下6盏不同的花灯,每次取1盏,共有90种不同取法.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血共有28人,A型血共有7人,B型血共有9人,AB型血共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”
14、的事件都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事件才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28793=5 292种不同的选法.18.(12分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是345,并证明你的结论.解(1)Cn+1r=Cnr+Cnr-1.(2)1+2+22+2n=2n+1-1.(3
15、)设Cnr-1CnrCnr+1=345,由Cnr-1Cnr=34,得rn-r+1=34,即3n-7r+3=0.由CnrCnr+1=45,得r+1n-r=45,即4n-9r-5=0.解联立方程组,得n=62,r=27,即C6226C6227C6228=345.19.(12分)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN+),且a2=60,求:(1)n的值;(2)-a12+a222-a323+(-1)nan2n的值.解(1)因为T3=Cn2(-2x)2=a2x2,所以a2=Cn2(-2)2=60,化简可得n(n-1)=30,且nN+,解得n=6.(2)Tk+1=C6k(-2x)k=a
16、kxk,所以ak=C6k(-2)k,所以(-1)kak2k=C6k,-a12+a222-a323+(-1)nan2n=C61+C62+C66=26-1=63.20.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相. 求在下列约束条件下,有多少种不同的站法.(1)女生不站在两端;(2)女生相邻;(3)女生不相邻;(4)站成两排,前排3人,后排4人.解(1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满足条件的站法有A52A55=2 400(种).(2)将相邻对象捆绑,当作一个对象,与其他对象一起全排列,可得满足条件的站法有A66A22=1 440(种).(3)分两步:第一步,先排男生,有A55种站法;第二步,将2
17、名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有A62种站法.由分步乘法计数原理知,满足条件的站法有A55A62=3 600(种).(4)无论分成多少排,实质都是要在7个不同位置上排7个不同对象,因此满足条件的站法共有A77=5 040(种).21.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.解(1)将所有的三位
18、偶数分为两类:若个位数为0,则共有A42=12个;若个位数为2或4,则共有233=18个.所以,共有30个符合题意的三位偶数.(2)将这些“凹数”分为三类:若十位数字为0,则共有A42=12个;若十位数字为1,则共有A32=6个;若十位数字为2,则共有A22=2个.所以,共有20个符合题意的“凹数”.(3)将符合题意的五位数分为三类:若两个奇数数字在百位和万位,则共有A22A33=12个;若两个奇数数字在十位和千位,则共有A22C21A22=8个;若两个奇数数字在个位和百位,则共有A22C21A22=8个.所以,共有28个符合题意的五位数.22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x
19、)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)解(1)根据题意得Cm1+Cn1=7,即m+n=7,f(x)中的x2的系数为Cm2+Cn2=m(m-1)2+n(n-1)2=m2+n2-m-n2.将变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=m-722+354,故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x3的系数为C33+C43=5;当m=4,n=3时,x3的系数为C43+C33=5.(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3C40+C410.003+C30+C310.0032.02.
