1、第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 AxByC0 直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括_ AxByC0 包括_ 不等式组 各个不等式所表示平面区域的_ 边界直线边界直线公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.3.线性规划的
2、有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x，y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足_的解(x，y)可行域 所有_组成的集合 最优解 使目标函数达到_或_的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的_或_的问题 线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值常用结论与微点提醒 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)
3、或(1，0)来验证.2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上方.(2)若B(AxByC)0表示的平面区域在直线xy10的下方.(4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是zb.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修 5P86T3 改编)不等式组x3y60，xy20表示的平面区域是()解析 x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.答案 B 3.(老教材必修 5P91 练习 T1(1)改编)已知 x，y 满足约束条件yx，xy1，y1，则 z2xy1的最大值、最小值分别是
4、()A.3，3B.2，4 C.4，2D.4，4 解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.其中 A(1，1)，B(2，1)，C12，12，画直线 l0：y2x，平移 l0 过 B 时，zmax4，平移 l0 过点 A 时，zmin2.答案 C A.1B.2C.3D.4 4.(2020合肥一中月考)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组1xy3，1xy1表示图形的面积等于()解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0，1)，D(1，0)，边长 AD 2，则正方形的面积 S 2 22.答案 B 5.(2018北京卷)若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_.解
5、析 作出不等式组y2x，x1y所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令 z2yx，作出直线 2yx0，平移该直线，当直线过点 A(1，2)时，2yx 取得最小值，最小值为 2213.答案 3 解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.答案 1 6.已知 x，y 满足xy50，xy0，x3，若使得 zaxy 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的值为_.考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例 1】(1)(2019 北 京 西 城 区 二 模)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，不
6、等 式 组 3xy0，x 3y20，y0表示的平面区域的面积是()A.32B.3C.2D.2 3(2)若不等式组xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是()A.43，B.(0，1C.1，43D.(0，143，解析(1)作出不等式组表示的平面区域是以点 O(0，0)，B(2，0)和 A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为122 3 3.答案(1)B(2)D(2)作出不等式组xy0，2xy2，y0表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 l：xya 在
7、 l1，l2 之间(包含 l2，不包含 l1)或 l3上方(包含 l3)，故 0a1 或 a43.规律方法 平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.【训练 1】(2019深圳二模)已知直线 ykx3 经过不等式组xy20，2xy4，y4所表示的平面区域，则实数 k 的取值范围是()A.72，32B.，72 32，C.72，74D.，72 74，解析 画出不等组xy20，2xy4，y4所表示的平面区域，如图所示，直线 ykx3 过
8、定点 M(0，3)，由y4，xy20，解得 A(2，4)，当直线 ykx3 过点 A 时，k340（2）72；由2xy4，xy20，解得 B(2，0)，当直线 ykx3 过点 B 时，k3002 32.由图形知，实数 k 的取值范围是，72 32，.答案 B考点二 求目标函数的最值 多维探究 角度1 求线性目标函数的最值【例 21】(2019浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件x3y40，3xy40，xy0，则 z3x2y的最大值是()A.1 B.1C.10 D.12 答案 C 解析 如图，不等式组表示的平面区域是以 A(1，1)，B(1，1)，C(2，2)为顶点的ABC 区域(包含边界).作
9、出直线 y32x 并平移，知当直线 y32xz2经过 C(2，2)时，z 取得最大值，且 zmax322210.规律方法 求目标函数zaxby的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数z0，将直线axby0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.角度2 求非线性目标函数的最值【例 22】(2020衡水中学六调)设 x，y 满足约束条件xy60，x3，xy30，则 zxy1x1 的取值范围是()A.(，81，)B.(，101，)C.8，1 D.10，1 解析 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界).由题意知点 A32，92，B(3，0)，C(3，9).答案 A 而目标
10、函数 zxy1x1 1 yx1的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(1，0)连线的斜率与 1 的和，由图可知，yx10 或 yx19，所以 z1 或 z8，即 zxy1x1 的取值范围为(，81，).故选 A.规律方法 目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，（xa）2（yb）2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.角度3 求参数值或取值范围【例 23】(2020惠州调研)已知实数 x，
11、y 满足x3y50，xy10，xa0，若 zx2y 的最小值为4，则实数 a()A.1 B.2C.4 D.8 答案 B 规律方法 当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线 zx2y 经过点 Ca，a53时，z 取得最小值4，所以a2a53 4，解得 a2.【训练 2】(1)(角度 1)(2019全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则z3xy 的最大值是_.(2)(角度 2)若 x，y 满足约束条件xy20，2y10，x10，则 zx22xy2的最小值为()A.12B.14C.12D.
12、34(3)(角度 3)若 x，y 满足条件3x5y60，2x3y150，y0，当且仅当 xy3 时，zaxy 取最大值，则实数 a 的取值范围是()A.23，35B.，35 23，C.35，23D.，23 35，解析(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y3xz过点C时，z最小，即z最大.由xy30，2x3y60，解得x3，y0，所以 C 点坐标为(3，0)，故 zmax3309.(2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，zx22xy2(x1)2y21，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(1，0)的距离的平方再减去1.观察图形可得，平面区域内的
13、点到定点(1，0)的距离的最小值为12，故 zx22xy2 的最小值为 zmin14134.答案(1)9(2)D(3)C(3)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足23a35，即35a23时，zaxy 仅在 xy3 时取得最大值，故选 C.考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲 乙 原料限额 A(吨)3 2 12 B(吨)1 2 8 A.12万元B.16万元 C.17万元D.18万元
14、可得目标函数在点A处取到最大值.解析 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利润为 z 万元，则有3x2y12，x2y8，x0，y0，目标函数 z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，由x2y8，3x2y12得 A(2，3).则zmax324318(万元).答案 D 规律方法 1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要
15、研究的函数，转化成线性规划问题.【训练3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A.31 200元B.36 000元 C.36 800元D.38 400元 解析 设旅行社租用 A 型客车 x 辆，B 型客车 y 辆，租金为 z 元，则线性约束条件为xy21，yx7，36x60y900，x，yN.目标函数为 z1 600 x2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点 N 时，取得最小值，由yx7，36
16、x60y900，解得x5，y12，故 N(5，12)，故 zmin1 60052 4001236 800(元).答案 C 直观想象高考命题中线性规划问题类型探析 直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新.类型1 目标函数含参数【例 1】设不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域为 D，若直线 ya(x1)与 D有公共点，则 a 的取值范围是_.解析 由可行域(如图)易知直线ya(x1)过定点P(1，0).当直线 ya(x1)经过 x3y4 与 3xy4 的交点 A(1，1)时，a
17、取得最小值12；当直线 ya(x1)经过 x0 与 3xy4的交点 B 时，a 取得最大值 4.故 a 的取值范围为12，4.答案 12，4思维升华 1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力.2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解.类型 2 线性约束条件含参【例 2】已知 z2xy，其中实数 x，y 满足yx，xy2，xa，且 z 的最大值是最小值的4 倍，则 a 的值是()A.211B.14C.4
18、D.112 解析 作出不等式组对应的平面区域如图：由z2xy得y2xz，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线的纵截距最大，z取最大值.由xy2，yx，解得x1，y1，即 A(1，1)，zmax2113.当直线y2xz经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小.由xa，yx，解得xa，ya，则点 B(a，a).zmin2aa3a，z 的最大值是最小值的 4 倍，343a，即 a14.答案 B 思维升华 当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题.类型 3“隐性”的线性规划问题【例 3】
19、如果函数 f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2 上单调递减，则 mn 的最大值为()A.16 B.18C.25 D.812 解析 f(x)(m2)xn8.由已知得：对任意的 x12，2，f(x)0，所以 f12 0，f(2)0，所以m0，n0，m2n18，2mn12.画出可行域，如图，令 mnt，答案 B 则当 n0 时，t0；当 n0 时，mtn.由线性规划的相关知识，只有当直线 2mn12 与曲线 mtn相切时，t 取得最大值.由 tn212，612ntn，解得 n6，t18.所以(mn)max18.思维升华 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件.2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.
