1、 数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，则（ ）A或 B或 C D 2.已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为（ ）A B C D 3.下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（ ）A B C D 3.下列命题的说法错误的是（ ）A对于命题：，则：，使得B“”是“”的充分不必要条件 C若命题为假命题，则都是假命题 D命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” 5. 某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某
2、儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）A B C D 6.从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（ ）A16种 B18种 C22种 D37种7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）A7 B C21 D8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A96 B108 C180 D198 9.如上图所示程序框图中，输出（ ）A45 B C D66 10.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.若在区间上随机取一个
3、数，则事件“”发生的概率为（ ）A B C D11.已知抛物线的焦点到双曲线：渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A B C D 12.已知函数，若对，均有，则的最小值为（ ）A B C D0 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件，则的最大值为 .14.已知是边长为1的正三角形的中心，则 .15.已知函数的图象如图所示，它与轴在原点相切，且轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则的值为 .16.在中，分别为所对的边，且，若，则 .三、解答题 （本大题共6小题，共7
4、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和为，且（）.（1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求证：.18.根据国家环境空气质量规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民
5、区的环境是否需要改进？说明理由.（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组40.1第二组120.3第三组80.2第四组80.2第五组40.1第六组40.119.在四棱锥中，底面是直角梯形， ，平面平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若斜率为（）的直线与轴、椭圆顺次相交于（点在椭圆右顶点的右侧）
6、，且.求证直线恒过定点，并求出斜率的取值范围.21.设函数.（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，的两条中线和相交于，且四点共圆.（1）求证：；（2）若，求.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和直线的倾斜角；（2）设点,和交于两点，求.24. （本小题满分10分）选修4-
7、5：不等式选讲已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）对，有恒成立，求实数的取值范围.数学（理）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案ADDCBACCBCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分133； 14； 15； 16 三、解答题：本大题共6个题，共70分17解：（1），当时有，所以当时有，又符合上式，.（2）， 18解：（1）众数为微克/立方米，中位数为微克/立方米.（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）.，去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.（3）记事
8、件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.随机变量的可能取值为，且 012（天），或（天）19（1）证明：，平面平面，交线为，且平面，所以平面不妨设，由得：.,设平面的一个法向量为.,.令，则.取平面的一个法向量，.平面与平面所成的锐二面角的大小为20解：（1）由题意知，即.又，椭圆的方程（2）由题意，设直线的方程为，.由得由，得则有，且，又，则，即化简得，将，代入上式，得直线的方程为，即直线过定点将代入，得，即，又，直线的斜率的取值范围是21解：（1）函数的定义域为，若，则，函数在上单调递增若，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由于，令，令，在单调递
9、增，且，在上存在唯一零点，设此零点为，当时，当时，由，又，所以的最大值为2.K请考生在2224三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解法一：（1）连结，四点共圆，则，又因为，为的两条中线，所以分别是的中点，故.所以，从而 （2）因为为与的交点，故为的重心，且.在与中，因为，所以，所以，即.因为，所以，即，又，所以.解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知，四点共圆，所以，所以，所以，由割线定理，又因为，是的中线，所以为的重心，所以，又，所以，所以，所以，因为，所以.23.解法一：（1）由消去参数，得，由，得（*），将代入（*），化简得，所以直线的倾斜角为.（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数），代入并化简，得，设两点对应的参数分别为，则，所以，所以.解法二：（1）同解法一.（2）直线的普通方程为.由消去得，于是.设，则，所以，所以.24（1）因为，所以有，当时，有，所以；当时，有；当时，有，所以，综上所述，原不等式的解集为或.（2）由题意可得，又，当且仅当时取等号，所以有，即的取值范围是或.
