1、专题04导数及其应用历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019导数综合问题2019年北京文科20解答题2018导数综合问题2018年北京文科19解答题2017导数综合问题2017年北京文科20解答题2016导数综合问题2016年北京文科20解答题2015导数综合问题2015年北京文科19解答题2014导数综合问题2014年北京文科20解答题2012导数综合问题2012年北京文科18解答题2011导数综合问题2011年北京文科18解答题2010导数综合问题2010年北京文科18历年高考真题汇编1【2019年北京文科20】已知函数f（x）x3x2+x（）求曲线yf（x）的斜率为l的切线方程；
2、（）当x2，4时，求证：x6f（x）x；（）设F（x）|f（x）（x+a）|（aR），记F（x）在区间2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值【解答】解：（）f（x），由f（x）1得x（x）0，得又f（0）0，f（），yx和，即yx和yx；（）证明：欲证x6f（x）x，只需证6f（x）x0，令g（x）f（x）x，x2，4，则g（x），可知g（x）在2，0为正，在（0，）为负，在为正，g（x）在2，0递增，在0，递减，在递增，又g（2）6，g（0）0，g（）6，g（4）0，6g（x）0，x6f（x）x；（）由（）可得，F（x）|f（x）（x+a）|f（x）xa|g（x）a|在2，4上
3、，6g（x）0，令tg（x），h（t）|ta|，则问题转化为当t6，0时，h（t）的最大值M（a）的问题了，当a3时，M（a）h（0）|a|a，此时a3，当a3时，M（a）取得最小值3；当a3时，M（a）h（6）|6a|6+a|，6+a3，M（a）6+a，也是a3时，M（a）最小为3综上，当M（a）取最小值时a的值为32【2018年北京文科19】设函数f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，求a；（）若f（x）在x1处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex的导数为f（x）ax2（a+1）
4、x+1ex曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，可得（4a2a2+1）e20，解得a；（）f（x）的导数为f（x）ax2（a+1）x+1ex（x1）（ax1）ex，若a0则x1时，f（x）0，f（x）递增；x1，f（x）0，f（x）递减x1处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a1，则f（x）（x1）2ex0，f（x）递增，无极值；若a1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+），（，）递增，可得f（x）在x1处取得极小值；若0a1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+），（，1）递增，可得f（x）在x1处取得极大值，不符题意；若a0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，
5、+），（，）递减，可得f（x）在x1处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（1，+）3【2017年北京文科20】已知函数f（x）excosxx（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，可得曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为ke0（cos0sin0）10，切点为（0，e0cos00），即为（0，1），曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1；（2）函数f（x）excosxx的导数为f（x）ex（cosxsinx）1，令g（x
6、）ex（cosxsinx）1，则g（x）的导数为g（x）ex（cosxsinxsinxcosx）2exsinx，当x0，可得g（x）2exsinx0，即有g（x）在0，递减，可得g（x）g（0）0，则f（x）在0，递减，即有函数f（x）在区间0，上的最大值为f（0）e0cos001；最小值为f（）cos4【2016年北京文科20】设函数f（x）x3+ax2+bx+c（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）设ab4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【解答】解：（1）函数f（x）x3+ax2+bx+c
7、的导数为f（x）3x2+2ax+b，可得yf（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为kf（0）b，切点为（0，c），可得切线的方程为ybx+c；（2）设ab4，即有f（x）x3+4x2+4x+c，由f（x）0，可得cx3+4x2+4x，由g（x）x3+4x2+4x的导数g（x）3x2+8x+4（x+2）（3x+2），当x或x2时，g（x）0，g（x）递增；当2x时，g（x）0，g（x）递减即有g（x）在x2处取得极大值，且为0；g（x）在x处取得极小值，且为由函数f（x）有三个不同零点，可得c0，解得0c，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）0，可得f（x）
8、的图象与x轴有三个不同的交点即有f（x）有3个单调区间，即为导数f（x）3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得0，即4a212b0，即为a23b0；若a23b0，即有导数f（x）3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c0，ab4时，满足a23b0，即有f（x）x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（2，0），则f（x）的零点为2个故a23b0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件5【2015年北京文科19】设函数f（x）klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【解答】解：（1）由f（x）f（x）x
9、由f（x）0解得xf（x）与f（x）在区间（0，+）上的情况如下：X （0，） （） f（x） 0+ f（x） 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x处的极小值为f（），无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为f（）因为f（x）存在零点，所以，从而ke当ke时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）0所以x是f（x）在区间（1，）上唯一零点当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点6【2014年北京文科20】已知函数f
10、（x）2x33x（）求f（x）在区间2，1上的最大值；（）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，求t的取值范围；（）问过点A（1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线yf（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（）由f（x）2x33x得f（x）6x23，令f（x）0得，x或x，f（2）10，f（），f（），f（1）1，f（x）在区间2，1上的最大值为（）设过点P（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x0，y0），则y023x0，且切线斜率为k63，切线方程为yy0（63）（xx0），ty0（63）（1x0），即46t+30，设g（x）4x36x2+t+3，
11、则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”g（x）12x212x12x（x1），g（x）与g（x）变化情况如下： x（，0） 0 （0，1） 1（1，+） g（x）+ 0 0+ g（x） t+3 t+1g（0）t+3是g（x）的极大值，g（1）t+1是g（x）的极小值当g（0）t+30，即t3时，g（x）在区间（，1和（1，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（1）t+10，即t1时，g（x）在区间（，0和（0，+）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点当g（0）0且g（1）0，即3t1时，g（1）t70，g（2）t+1
12、10，g（x）分别在区间1，0），0，1）和1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（，0）和1，+）上单调，故g（x）分别在区间（，0）和1，+）上恰有1个零点综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切时，t的取值范围是（3，1）（）过点A（1，2）存在3条直线与曲线yf（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线yf（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线yf（x）相切7【2012年北京文科18】已知函数f（x）ax2+1（a0），g（x）x3+bx（1）若曲线yf（x）与曲线yg（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a3，b9时
13、，函数f（x）+g（x）在区间k，2上的最大值为28，求k的取值范围【解答】解：（1）f（x）ax2+1（a0），则f（x）2ax，k12a，g（x）x3+bx，则g（x）3x2+b，k23+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a3+b又f（1）a+1，g（1）1+b，a+11+b，即ab，代入式，可得：a3，b3（2）当a3，b9时，设h（x）f（x）+g（x）x3+3x29x+1则h（x）3x2+6x9，令h（x）0，解得：x13，x21；k3时，函数h（x）在（，3）上单调增，在（3，1上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间k，2上的最大值为h（3）283k2时，函数h（x）在区间k，
14、2上的最大值小于28所以k的取值范围是（，38【2011年北京文科18】已知函数f（x）（xk）ex（）求f（x）的单调区间；（）求f（x）在区间0，1上的最小值【解答】解：（）f（x）（xk+1）ex，令f（x）0，得xk1，f（x）f（x）随x的变化情况如下：x（，k1）k1（k1，+） f（x）0+ f（x）ek1f（x）的单调递减区间是（，k1），f（x）的单调递增区间（k1，+）；（）当k10，即k1时，函数f（x）在区间0，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）k；当0k11，即1k2时，由（I）知，f（x）在区间0，k1上单调递减，f（x）在区间（k1，1上单调递
15、增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）ek1；当k11，即k2时，函数f（x）在区间0，1上单调递减，f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）（1k）e；综上所述f（x）min9【2010年北京文科18】设定函数f（x）x3+bx2+cx+d（a0），且方程f（x）9x0的两个根分别为1，4（）当a3且曲线yf（x）过原点时，求f（x）的解析式；（）若f（x）在（，+）无极值点，求a的取值范围【解答】解：由得f（x）ax2+2bx+c因为f（x）9xax2+2bx+c9x0的两个根分别为1，4，所以（*）（）当a3时，又由（*）式得解得b3，c12又因为曲线yf（x）过原点，所以d0，
16、故f（x）x33x2+12x（）由于a0，所以“在（，+）内无极值点”等价于“f（x）ax2+2bx+c0在（，+）内恒成立”由（*）式得2b95a，c4a又（2b）24ac9（a1）（a9）解得a1，9即a的取值范围1，9考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题为重点较佳.最新高考模拟试题1已知函数
17、，若有3个零点，则的取值范围为( )A(，0)B(，0)C(0，)D(0，)【答案】C【解析】由题意，函数，要使得函数在R上有3个零点，当时，令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，又由，令，可得，当时，则单调递增；当时，则单调递减，所以当时，若直线和有两个交点，则，当时，和有一个交点，则，综上可得，实数的取值范围是，故选C.2已知，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，设，设，在单调递减，且，,所以在递减，故选C.3已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（ ）（参考数据：，）A5B6C7D8【答案】A【解析】，当时，函数单调递减，当时，函数单
18、调递增，故，又当，所以函数的值域为，令因此是单调递增函数，因此当时，令由上可知：，由上可知函数在时，单调递增，在时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，所以当时，函数单调递增，所以的最小值是5，故本题选A.4已知实数，满足，则的最小值为（ ）A8B4C2D【答案】D【解析】， 可以看成和之间的最小值当时，即点到直线的距离最小5若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】因为函数，所以令，因为，当 时，所以所以在上为增函数，则，当时，所以，所以在上为增函数，则，所以在上没有零点.当时，即，因为在上为增函数，则存在唯一的，使得，且当时，当时，；所以当时，为减函数，当
19、时，为增函数，当时，因为，当趋于时，趋于，所以在内，一定存在一个零点.所以，故答案选D.6已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则，因为对任意，都有成立，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；令，则，由得，解得（舍）或，所以，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，因为在上恒成立，所以只需，解得.故选D7已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()ABCD【答案】A【解析】设，因为为上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有故时，即单调递增，所以在上单调递增不等式，即所以，解得故选A项.8已知函数，则使不等
20、式成立的的最小整数为（ ）A-3B-2C-1D0【答案】D【解析】根据题意，函数，其导数，时，可以看成是1为首项，为公比的等比数列，则有，函数在上为增函数，又由，则函数在上存在唯一的零点，设其零点为，又由，则，故不等式成立的的最小整数为0；故选：D9直线是曲线的切线，则实数_【答案】1【解析】解：，设切点为，得切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：即： 它过原点，故答案为：110函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为_【答案】【解析】关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解，即有解，时符合题意，时转化为有解，即的图象有交点，是过定
21、点的直线，其斜率为，设相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即且时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为，故答案为.11已知函数，若存在实数使得，则的最大值为_.【答案】【解析】作出函数图像如下：由题意，令为方程的两个根，由图像易得；由得，解得或，因为，所以，因此，令，则，因为，所以由得；由得，即函数在上单调递增；在上单调递减；所以，因此的最大值为.故答案为12已知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是_【答案】【解析】设，则，所以函数u(x)的增区间为（0，+），减区间为(-,0),所以，即；可知
22、，当且仅当时取等；因为所以，所以，解得，当且仅当时，取等号故答案为：13已知直线与曲线分别交于两点，则的最小值为_【答案】1.【解析】令，显然为增函数，且所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以.故答案为1.14曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_【答案】【解析】解：曲线，可得，曲线在处的切线的斜率为，可得，所以.所以切点坐标为：，则切线的方程为：.即：故答案为：15已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是_【答案】【解析】作出的函数图象如图所示，由，可得， 即，不妨设 ，则，令，则，令，则，当 时，在上递增；当时，在上递减；当时，取得最大值,故答案为.16已知函数的图象恰好经过三
23、个象限，则实数的取值范围_.【答案】或【解析】（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，当时，所以，若时，恒成立，又当时，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，又所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，当时，令，解得，若时，即时，在上的最小值为，令.若时，则在时，单调递减，当时，令，解得，若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；若，
24、在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，显然，故；结上所述：或.17已知函数.（）讨论的单调性；（）比较与的大小且，并证明你的结论.【答案】（I）见解析；（II）见解析【解析】（）函数可化为，当时，从而在上总是递减的，当时，此时要考虑与1的大小.若，则，故在上递增，若，则当时，当时，故在上递减，在上递增，而在处连续，所以当时，在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递增.（）由（）可知当，时，即，所以.所以.18已知函数（1）讨论的单调性；（2）若为的两个极值点，证明：.【答案】（1）当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，对于函数，
25、当时，即时，在恒成立在恒成立，在为增函数； 当，即或时，当时，由，得或，在为增函数，减函数，为增函数， 当时，由在恒成立，在为增函数 综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数（2）由（1）知，且， 故故只需证明，令，故，原不等式等价于对成立，令，所以单调递减，有得证.19已知函数.（）当时，求的最大值；（）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）1；（）【解析】（）当时，定义域为.令，得.当时，单调递增，当时，单调递减.所以.（），.令，得.当时，单调递增；当时，单调递减，所以.依题意有，设，则，所以在上单调递增.又，故，即实数的取值范围为.20对于函数的定义域，如果存在区
26、间，同时满足下列条件：在上是单调函数；当时，的值域为，则称区间是函数的“单调倍区间”已知函数（1）若，求在点处的切线方程；（2）若函数存在“单调倍区间”，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时， 当时，则：，又在处的切线方程为： 即： （2） 列表如下：极大值设函数存在“单调倍区间”是当时，由在上单调递减，则有两式相减得： 即，代入得： 要使此关于的方程组在时有解，则使得与的图象有两个公共点当时，当时，结合两函数图象，则，即：即此时满足存在“单调倍区间”的的取值范围是当时，由在上单调递增，则有即：设，则当时，为增函数当时，为减函数要使方程有两解，则与的图象在有两个交点结合两函数图
27、象，则，即：解得： 即此时满足存在“在单调倍区间”的的取值范围是当时，由在上单调递减，则有两式相减得：，此式不成立，即此时不存在“单调倍区间”综上，函数存在“单调倍区间”的的取值范围是21已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的值域.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】解：（1）定义域为，.令，当时，即且不恒为零，故单调递增区间为，当时，方程两根为，由于，.故，因此当时，单调递增，单调递减，单调递减，单调递增，综上，当时，在单调递增，单调递增，当时，在单调递增，单调递减；在单调递增.（2），设，由（1）知，时，在单调递增，由于，故在存在唯一，使，又当，即，单调递减，即，单调递增，故时， ，.又设，故单调递增，故，即，即.22已知函数（无理数）（1）若在单调递增，求实数的取值范围：（2）当时，设，证明：当时，【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）解：由题意可得在上恒成立，令，则，函数在上单调递增实数a的取值范围是（2）证明：当时，令，则，可得时，函数取得极小值，又存在，使得由单调性可得：时，函数取得极小值，即最小值，由，可得函数单调递减，故当时，
