1、第2课时复数的几何意义Q 大家知道实数的几何模型是数轴上的点，即实数和数轴上的点建立了一一对应关系，那么复数的几何模型又是怎样的呢？在1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图像表示法，即虚数能用平面内的点来表示在直角坐标系中，横轴上取对应实部a的点A，纵轴上取对应虚部b的点B，通过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数abi，这样就将复数与平面内的点建立了一一对应关系，至此找到了复数的几何模型平面内的点以后随着对复数的进一步研究，又将复数与平面内的向量建立了一一对应关系，因此复数就有了另一个几何模型平面内的向量，并且阐述了复数的几何加法和乘法，从而丰富了内涵，至此复数理论也就较完整
2、地建立起来了。X 1复平面与复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作_实轴_，y轴叫作_虚轴_，实轴上的点都表示实数，除了_原点_外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义每一个复数都由它的_实部_和_虚部_唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是_一一对应_关系若复数zabi(a、bR)，则其对应的点的坐标是(a，b)_，不是(a，bi)复数与复平面内_以原点为始点_的向量也可以建立一一对应关系如图，在复平面内，复数zabi(a、bR)可以用点_Z(a，b)_或向量 表示复数z
3、abi(a、bR)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：2复数的模设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|.由向量长度的计算公式得|z|abi| .两个不全为实数的复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小Z 1复平面的几个注意点(1)直角坐标平面可表示复平面，形式上不做改变，要注意纵轴仍然是用y表示，不要认为是yi.(2)复平面内的点与复数的关系位置复数实轴上的点实数虚轴(原点除外)上的点纯虚数各象限的点虚数2.复数的几何意义的几个注意点(1)复数与平面向量对应关系的建立，为我们用向量方法解决复数问题或用复数方法解决向量问题
4、创造了条件(2)学习了复数的几何意义后得到复数的表示法有三种：代数形式：abi(a、bR)复平面内的点Z(a，b)；平面向量(O为坐标原点)3巧用复数的几何意义解题(1)复平面|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|表示实数a的点与原点O间的距离那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|z2z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题Y 1已知a、bR，那么在复平面内对应于复数abi，abi的两个点的位置关系是(B)A关
5、于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称解析在复平面内对应于复数abi，abi的两个点为(a，b)和(a，b)关于y轴对称2设复数zabi对应的点在虚轴右侧，则(D)Aa0，b0Ba0，b0Cb0，aRDa0，bR解析复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为_1或3_.A1或3B1C3D2解析依题意可得2，解得m1或3，故选A4求复数z134i及z2i的模，并比较它们的模的大小解析|z1|5，|z2|，5，|z1|z2|.H 命题方向1复数的几何意义典例1在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m2
6、)i对应的点分别满足下列要求，试求复数z：(1)在虚轴上(不包括原点)；(2)在实轴负半轴上；(3)在第一、三象限的角平分线上思路分析把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，求出参数m的值，即得复数z.解析(1)若复数z对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m22m80且m23m20，m4，此时z30i.(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上，则解得m1，此时z5.(3)若复数z对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线yx上，即m23m2m22m8，m2，此时z0.规律方法1.复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对
7、应点的横坐标、纵坐标(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，能更好地理解复数的相关知识2有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解跟踪练习1(2019北京昌平区新学道临川中学月考)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A48iB82iC24iD4i解析由题意知A(6,5)，B(2,3)，C(2,4)，点C对应的复数为24i
8、，故选C命题方向2复数与复平面内向量的对应典例2在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为14i，3i,2，O为复平面的坐标原点(1)求向量，对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数思路分析根据复数与点、复数与向量的对应关系求解解析(1)由已知得，所对应的复数分别为14i，3i,2，于是(1,4)，(0，3)，(2,0)，因此(1,1)，(1，4)，故对应的复数为1i，对应的复数为14i.(2)由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，3)，(2,0)，则AC的中点为(，2)，由平行四边形的性质知BD的中点也是(，2)，若设D(x0，y0)，则有解得故D(3,7)规律总结
9、1.若复数zabi(a，bR)则复数z在复平面内对应的向量(a，b)2复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得3一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变跟踪练习2(2019广东江门高二期末)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13i，i,2i.(1)求点D对应的复数；(2)求ABC的边BC上的高解析(1)复平面内A，B，C对应点的坐标分别为(1,3)，(0，1)，(2,1)，设点D的坐标为(x，y)，由，得(x1，y3)(2,2)，x12，y32，解得x3，y5，故点D(3,5)，其对应的复数为35i.(2)B(0，1)，C
10、(2,1)，BC的直线方程为xy10，点A到BC的直线距离d，故BC边上的高为.命题方向3复数模的计算典例3已知复数z满足z|z|28i，求复数z.思路分析设zabi(a，bR)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.解析解法一：设zabi(a、bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得.z158i.解法二：原式可化为z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i得z158i.规律方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小跟踪练习3下列
11、各复数的模不是1的为(D)AIBiCIDi解析|i|1.Y 准确掌握复数模的几何意义 典例4已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹是(A)A1个圆B线段C2个点D2个圆错解由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1，故选D辨析错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误. 正解A由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1.|z|0，|z|1应舍去，故应选A跟踪练习4已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x1)(3y)iyi，求x和y的值解析由y是纯虚数，可设ybi(bR，且b0)，则(2x1)(3bi)ibii，整理得(2x
12、1b)3i(b1)i.由复数相等的充要条件，得解得所以X 复数与其他知识的综合问题 复数与集合、常用逻辑用语、方程、函数等知识交汇可命制综合问题典例5已知M2，m22m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，求实数m的值解析MNN，MN，m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.由复数相等的充要条件，得，或，解得m1或m2.规律方法利用复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题来解决在解题过程中要注意的是：一般由一个复数等式可转化为一个实数方程组，所求出的解要同时满足每一个方程K 1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析复数z12i在复平面内对应的点为(1，2)，故选C2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则(C)Aa2或a1Ba2或a1Ca2或a0Da0解析由题意得，a2或a0.3已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(C)A(1,5)B(1,3)C(1，)D(1，)解析本题主要考查复数的模的有关知识及运算能力由题意知zai，由1|z|.故选C4已知i为虚数单位，复数z1ai，z22i，且|z1|z2|，则实数a的值为(C)A2B2C2或2D2或0解析|z1|，|z2|，|z1|z2|，解得a2.故选C
