1、2016-2017学年新疆克拉玛依市准东中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202下列图形中不一定是平面图形的是（）A三角形B平行四边形C梯形D四边相等的四边形3点M （3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（）A（3，2，1 ）B（3，2，1）C（3，2，1）D（3，2，1）4ABC的斜二侧直观图如图所示，则ABC的面积为（）AB1CD25直线3x+4y13=0与圆（x2）2+（y3）2=1的位置关系是（）A相离B相交C相切D无法判定6设正方体的表面积为24，那么
2、其外接球的体积是（）ABCD7已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l8直线l1：axy+b=0，l2：bxy+a=0（a、b0，ab）在同一坐标系中的图形大致是（）ABCD9已知直线m过点A（2，3），且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是（）A3x+2y=0Bx+y+1=0Cx+y+1=0或3x+2y=0Dx+y1=0或3x2y=010一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+11已知A（3，0），B（0，4），AOB绕y轴旋转一周得到的几何体的表面积和体
3、积分别是（）A9，12B12，9C24，12D15，3612如图ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）ABCD二、填空题：（每小题3分，共12分）13底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为cm214若直线xy=1与直线（m+3）x+my8=0平行，则m=15已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，则|PM|的最大值为16已知圆x2+y2=4和圆外一点p（2，3），求过点p的圆的切线方程三、解答题：（共52分）17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中
4、点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE18如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求证：BC面SAB；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值19已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程20光线自点M（2，3）射到点N（1，0）后被x轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程（请用直线的一般方程表示解题结果）21已知圆C：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0（1）求证：对mR
5、，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角22已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由2016-2017学年新疆克拉玛依市准东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45
6、C60D120【考点】直线的倾斜角【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值【解答】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于 =设直线的倾斜角等于，则有tan=再由 0可得 =，即=30，故选A2下列图形中不一定是平面图形的是（）A三角形B平行四边形C梯形D四边相等的四边形【考点】平面的基本性质及推论【分析】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，即可判断出【解答】解：利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形故选：D3点M （3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（）A（
7、3，2，1 ）B（3，2，1）C（3，2，1）D（3，2，1）【考点】空间中的点的坐标【分析】点M（a，b，c）关于平面yOz对称的点的坐标是（a，b，c）【解答】解：由空间直角坐标系的性质知：点M （3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标是（3，2，1）故选：A4ABC的斜二侧直观图如图所示，则ABC的面积为（）AB1CD2【考点】斜二测法画直观图【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积【解答】解：OA=1，OB=2，ACB=45原图形中两直角边长分别为2，2，因此，R
8、tACB的面积为S=2故答案为：D5直线3x+4y13=0与圆（x2）2+（y3）2=1的位置关系是（）A相离B相交C相切D无法判定【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d=r，故直线与圆相切【解答】解：由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r=1，所以圆心到直线3x+4y13=0的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系为相切故选C6设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（）ABCD【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】通过正方体的表面积，先求球的内接正方体的棱长，再求正方体的对
9、角线的长，就是球的直径，然后求其体积【解答】解：球的内接正方体的表面积为24，所以正方体的棱长是：2正方体的对角线2，所以球的半径是 所以球的体积：，故选C7已知m，n为异面直线，m平面，n平面直线l满足lm，ln，l，l，则（）A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论【解答】解：由m平面，直线l满足lm，且l，所以l，又n平面，ln，l，所以l由直线m，n为异面直线，且m平面，n平面，则与相交，否则，若则推出mn，与m，n异面矛盾故
10、与相交，且交线平行于l故选D8直线l1：axy+b=0，l2：bxy+a=0（a、b0，ab）在同一坐标系中的图形大致是（）ABCD【考点】直线的一般式方程【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断【解答】解：直线l1：axy+b=0可化为y=ax+b直线l2：bxy+a=0可化为y=bx+aab，直线l1，l2不平行故A不正确选项B中，截距b0，a0而斜率故B不正确选项D中，两直线斜率a0，b0而直线l1的截距b0故D不正确故选：C9已知直线m过点A（2，3），且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是（）A3x+2y=0Bx+y+1=0Cx+y+1=0或3
11、x+2y=0Dx+y1=0或3x2y=0【考点】直线的截距式方程【分析】分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为y=x，即3x+2y=0；当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=23=1，因此所求的直线方程为x+y+1=0综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0故选：C10一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积
12、，再相加即得组合体的体积【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选C11已知A（3，0），B（0，4），AOB绕y轴旋转一周得到的几何体的表面积和体积分别是（）A9，12B12，9C24，12D15，36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】AOB绕y轴旋转一周得到的几何体是底面半径为r=3，母线长l=5的圆锥，由此能求出AOB绕y轴旋转一周得到的几何体的表面积和体积【解答】解：A（3，0），B（0，4），AOB绕
13、y轴旋转一周得到的几何体是底面半径为r=3，母线长l=5的圆锥，AOB绕y轴旋转一周得到的几何体的表面积：S=r2+=9+15=24AOB绕y轴旋转一周得到的几何体的体积：V=12故选：C12如图ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图先将F1D平移到AF，再平移到E1E，EE1B为BE1与DF1所成的角设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2cosEE1B=，故
14、选A二、填空题：（每小题3分，共12分）13底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为16cm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】根据所给的圆柱的底面直径和高，先做出圆柱的底面圆的周长，根据矩形的面积等于长乘以宽，用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高，得到圆柱的侧面积【解答】解：圆柱的底面直径和高都是4cm，圆柱的底面圆的周长是22=4圆柱的侧面积是44=16，故答案为：1614若直线xy=1与直线（m+3）x+my8=0平行，则m=【考点】两条直线平行的判定【分析】两直线平得，则其斜率相等，故应先解出两直线的斜率的表达式，令其斜率相等得到参数的方程求参数【解答】解：直线xy=1的斜率为
15、1，（m+3）x+my8=0斜率为两直线平行，则=1解得m=故应填15已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，则|PM|的最大值为6【考点】点与圆的位置关系【分析】求出圆心坐标为C（2，1），半径为1，可得|PC|，即可求出|PM|的最大值【解答】解：圆x2+y24x+2y+4=0，可化为（x2）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（2，1），半径为1|PC|=5，|PM|的最大值为5+1=6故答案为616已知圆x2+y2=4和圆外一点p（2，3），求过点p的圆的切线方程【考点】圆的切线方程【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题
16、意；当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，由P的坐标和k表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，p（2，3），切线方程为y+3=k（x+2），即kxy+2k3=0，圆心到切线的距离d=r=2，解得：k=，此时切线方程为5x12y26=0，综上，切线方程为x=2或5x12y26=0三、解答题：（共52分）17
17、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可【解答】证明：（）连接OEO是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE （）PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPO=O，BD平面PAC BD平面BDE，平面PAC平面BDE18如图，在底面是直角
18、梯形的四棱锥SABCD中，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（1）求四棱锥SABCD的体积；（2）求证：BC面SAB；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1），由题设条四棱锥SABCD的体积：V=Sh=（AD+BC）ABSA，即可求得四棱锥SABCD的体积；（2），由SA面ABCD，知SABC，由ABBC，BC面SAB，由此能够证明面SAB面SBC； （3），连接AC，知SCA 就是SC与底面ABCD所成的角，由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值【解答】解：（1）底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，A
19、BC=90，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=四棱锥SABCD的体积：V=Sh=（AD+BC）ABSA=（+1）11=（2）证明：SA面ABCD，BC面ABCD，SABC，ABBC，SAAB=A，BC面SABBC面SBC，面SAB面SBC（3）连接AC，SA面ABCD，SCA 就是SC与底面ABCD所成的角在三角形SCA中，SA=1，AC=，tanSCA=19已知三角形ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程【分析】（1）根据B与C的坐标
20、求出直线BC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为1，求出BC边上的高所在直线的斜率，然后由A的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；（2）由B和C的坐标，利用中点坐标公式求出线段BC的中点坐标，然后利用中点坐标和A的坐标写出直线的两点式方程即可【解答】解：（1）BC边所在直线的斜率为则BC边上的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程可知直线AD的方程为：y0=6（x4）化简得：y=6x24 （2）设BC的中点E（x0，y0），由中点坐标公式得，即点由直线的两点式方程可知直线AE的方程为：化简得：20光线自点M（2，3）射到点N（1，0）后被x轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程（请用直线的
21、一般方程表示解题结果）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】根据点MN在直线l1上，用两点式求得直线l1上的方程，再根据反射定律，用点斜式求得直线l2的方程【解答】解：如图，设入射光线与反射光线分别为l1与l2，由直线的两点式方程可知：，化简得：l1：3xy3=0其中k1=3，由光的反射原理可知：1=2，k2=k1=3，又Nl2 ，由直线的点斜式方程可知：l2：y0=3（x1），化简得：l2：3x+y3=021已知圆C：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角【考点】直
22、线与圆相交的性质；直线的倾斜角【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径R，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，判断出d小于等于1，即d小于圆的半径R，可得直线与圆相交，则对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点，得证；（2）由直线l与圆C交于A，B两点，AB为圆C的弦，根据垂径定理得到弦长的一半，圆的半径及弦心距d构成直角三角形，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出直线l的方程，进而求出直线l的倾斜角【解答】解：（1）圆C的圆心坐标为（0，1），半径为，圆心C到直线l的距离（mR），即，直线l与圆C相交，则对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2
23、）R=，d=，|AB|=，根据垂径定理及勾股定理得：，即，整理得：m2=3，解得：，直线l的方程为=0或，则直线l的倾斜角为：60或12022已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程【分析】（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程（）把直线
24、axy+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，由此能求出实数a的取值范围（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB【解答】（本小题满分14分）解：（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以，即|4m29|=25因为m为整数，故m=1故所求圆的方程为（x1）2+y2=25 （）把直线axy+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是（）（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+24a=0，解得由于，故存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB2017年1月18日
