1、重组十一立体几何 测试时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)12016浙江高考已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析因为l，所以l，又n，所以nl.故选C.22016济南调研已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A286 B40 C. D306答案C解析 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4,5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为544.32016云师大附中月考某几何体的三视图如图
2、所示，则该几何体的表面积为()A. B. C2 D2答案D解析由题意知该几何体为如图放置的正四面体，其棱长为，故其表面积为sin42，故选D.42017河北衡水中学一调如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为()A8 B12 C18 D24答案B解析由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V14324，三棱柱的体积为V22V1248，所以该几何体的体积为V12，故选B.52017广西梧州模拟若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正(主)视图和侧(左)视
3、图如图所示，则此几何体的表面积是()A4 B62C6 D8答案C解析圆柱的侧面积为S12124，半球的表面积为S22122，圆锥的侧面积为S31，所以几何体的表面积为SS1S2S36，故选C.62017安徽师大期末某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A4 B2 C4 D8答案D解析根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部分剩余，如图所示，所以该几何体的体积为(322)8，故选D.72017吉林长春质检某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是()A4 B63 C6 D12答案C解析由
4、题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为V36，故选C.82017河南百校联盟质监如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. B. C6 D7答案C解析几何体如图，为每一个长方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为2311146，选C.92017唐山模拟在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面分别交直线PA，CD于M，N两点，则PMCN()A6 B4 C3 D2答案C解析由过E，F，H的平面交直线CD于N点，可得N点为C
5、D的中点，即CN2；由过E，F，H的平面交直线PA于M点，可得M为PA的四等分点，所以PM1，所以PMCN3，故应选C.102016全国卷在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.答案B解析由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.112016云师大附中月考棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G分别为A
6、B，AD，AA1的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为()A. B. C. D.答案B解析如图，正方体ABCDA1B1C1D1的外接球球心O为对角线AC1的中点，球半径R，球心O到平面EFG的距离为，所以小圆半径r，故选B.122017河南开封质检如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中的假命题是()A不平行的两条棱所在的直线所成的角是60或90B四边形AECF是正方形C点A到平面BCE的距离为D该八面体的顶点在同一个球面上答案C解析因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是60，而AE与CE所成的角为90，A正确；四
7、边形AECF各边长均为1，ACEF，所以四边形AECF是正方形；DB，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h，由VEABCD2VABCE，所以112h，解得h，C错误第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)132016江苏联考将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_答案解析圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2，底面半径为1，圆锥的高为，圆锥的体积为12.142017河南郑州一中期末我国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3
8、，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为_答案1.6解析由图可得2x31(5.4x)12.6x1.6.152016江苏联考在下列四个图所表示的正方体中，能够得到ABCD的是_答案解析对于，通过平移AB到右边的平面，可知ABCD，所以中ABCD；对于，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由线面垂直定理得到中ABCD；对于，可知AB与CD所成的角为60；对于，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直故答案为.162016长春质检如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥已知正四棱锥PABCD内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大
9、时，其高为_答案解析由球的几何性质可设四棱锥高为h，从而VPABCDh1(h1)2(h32h2)，有VPABCD(3h24h)h(3h4)，可知当h时，体积VPABCD最大三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 2017哈尔滨检测(本小题满分10分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C侧面ABB1A1，ACAA1AB，AA1C160，ABAA1，H为CC1的中点，D为BB1的中点(1)求证：A1D平面AB1H；(2)若AB，求三棱柱ABCA1B1C1的体积解(1)证明：连接AC1，ACC1为正三角形，H为棱CC1的中点，AHCC1，从而AH
10、AA1，又平面AA1C1C平面ABB1A1，平面AA1C1C平面ABB1A1AA1，AH平面AA1C1C, AH平面ABB1A1，又A1D平面ABB1A1，AHA1D.(3分)设ABa，ACAA1AB，ACAA12a，DB1a，又DB1A1B1A1A90，A1DB1AB1A1，B1AA1B1A1D，又B1A1DAA1D90，B1AA1AA1D90，A1DAB1，由及AB1AHA，可得A1D平面AB1H.(6分)(2)取AA1的中点M，连接C1M，则C1MAH，C1M平面ABB1A1，VC1AB1A1SAB1A1C1M，三棱柱ABCA1B1C1的体积为3VC1AB1A1.(10分)182017东
11、北四市联考(本小题满分12分) 如图，过四棱柱ABCDA1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDFE.(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDFE平面A1C1CA.解(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于F，E两点，则EF即为所作的锯线理由如下：在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱BB1DD1，且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面BDFE平面ABCDBD，平面BDFE平
12、面A1B1C1D1EF，所以EFBD，从而EFB1D1.(6分)(2)证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BDB1B.又A1AB1B，所以BDA1A.又四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，所以BDAC.因为ACA1AA，所以BD平面A1C1CA.因为BD平面BDFE，所以平面BDFE平面A1C1CA.(12分)192017湖北八校联考(本小题满分12分) 如图，平面PAD平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，PAPD，且APD90，DAB60.(1)若线段PC上存在一点M，使得直线PA平面MBD，试确定M点的位置，并给出证明；(2)在第(1)问的条件下，求三棱锥CDMB的
13、体积解(1)M为线段PC中点(1分)证明：取线段PC中点M，连接MD，MB，连接AC、BD相交于O点，连接OM，ABCD为菱形，AC交BD于O点，O为AC中点，又M为PC中点，OMPA，(4分)又OM平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD.(6分)(2)PAPD，取AD的中点N，PNAD，又平面PAD平面ABCD，PN平面ABCD，APD90，AD2，PNAD1，(8分)又M为PC中点，M到平面ABCD的距离hMPN.(10分)ABCD是边长为2的菱形，DAB60，SBCD22，(11分)VCDMBVMBCDSBCDhM.(12分)202017宁夏银川检测(本小题满分12分)如图所示，平行
14、四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积和体积解(1)证明：在ABD中，因为AB2，AD4，DAB60，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又DE平面EBD，所以ABDE.(4分)(2)由(1)知ABBD.因为CDAB，所以CDBD，从而DEBD.在RtDBE中，因为DB2，DEDCAB2，所以SEDBDBDE2.(6分)因为AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因为BEB
15、CAD4，所以SEABABBE4.因为DEBD，平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，所以DE平面ABD，而AD平面ABD，所以DEAD，故SEADADDE4.故三棱锥EABD的侧面积SSEDBSEABSEAD82.(9分)因为DE平面ABD，且SABDSEBD 2，DE2，所以V三棱锥EABDSABDDE22.(12分)212017太原模拟(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥的侧棱PD底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，ADCD，ABCD，ABADCD2.(1)求证：BC平面BDP；(2)若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成
16、角的余弦值解(1)证明：由已知得BDBC2，所以BD2BC216DC2，故BDBC.(2分)又PD平面ABCD，BC平面ABCD，故PDBC，(4分)又BDPDD，所以BC平面BDP.(6分)(2)如图，取PD中点N，并连接AN，MN，则MN綊DC，又AB綊DC，所以四边形ABMN是平行四边形，所以MBNA，则PAN为异面直线BM与PA所成角，又PD底面ABCD，所以PCD为PC与底面ABCD所成角，(8分)则tanPCD，所以PDCD2，所以PNPD1，易求得AN，PA2，(10分)所以在PAN中，cosPAN，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为.(12分)222017河北中学联考 (本小
17、题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PAAC，PA平面ABCD.(1)若E为棱PC的中点，求证PD平面ABE；(2)若AB3，求点B到平面PCD的距离解(1)证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，ACCD，PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2分)ACPA，E是PC的中点，AEPC，又PCCDC，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD，(4分)PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，又ABAD，由面面垂直的性质定理可得BA平面PAD，ABPD，又ABAEA，PD平面ABE.(6分)(2)因为PA平面ABCD，所以PAAC，所以PC3，由(1)的证明知，CD平面PAC，所以CDPC，因为ABAD，ABC为正三角形，所以CAD30，因为ACCD，所以CDACtan30.(7分)设点B的平面PCD的距离为d，则VBPCD3dd，(8分)在BCD中，BCD150，所以SBCD3sin1503，(9分)所以VPBCD3，(10分)因为VBPCDVPBCD，所以d，解得d，即点B到平面PCD的距离为.(12分)
