1、4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学习目标1.理解空间中点、线、面的位置关系2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.【主干自填】1空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a上，记作Pa.(2)如果点P在直线a外，记作Pa.2空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面内，记作P.(2)如果点P在平面外，记作P.3空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作ab.(2)
2、相交直线：如果直线a和b有且只有一个公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作abP.(3)异面直线：如果直线a和b不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线4空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面有无数个公共点，我们称直线a在平面内，记作a.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面有且只有一个公共点P，我们称直线a与平面相交于点P，记作aP.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面没有公共点，我们称直线a与平面平行，记作a.5空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面与平面没有公共点，我们称平面与平面是平行平面，记作.(2)相交平面：如果平面和平面不重合，但有公
3、共点，我们称平面与平面相交于直线l，记作l.6公理1经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面或简单说成：不共线的三点确定一个平面7公理1的推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面8公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)9公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线【即时小测】1思考下列问题(1)照相机支架只有三个脚支撑，为什么？提示：不在同一直线上的三点确定一个平面(2)教室的墙面与地面有公共点
4、，这些公共点有什么规律？提示：这些公共点在同一直线上(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？提示：平行2下列表述中正确的是()A空间三点可以确定一个平面B三角形一定是平面图形C若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D四条边都相等的四边形是平面图形提示：B因为三点不共线时确定一个平面，故A错C中A、B、C、D四点可在与的交线上D显然错误故选B.3若点M在直线a上，且a在平面内，则M，间的关系为_提示：M例1(1)已知，是两个不同的平面，a，b，l是三条不同的直线，若a，b，laA，lbB，l，那么与的位置关系是_(2)如图，在正方体ABCDABCD中
5、，哪几条棱所在的直线与直线BC是异面直线？解析(1)如图，l上有两点A，B在内，根据公理2，l，又l，则l.(2)棱DC，AB，AA，DD，AD，AD所在的直线与直线BC是异面直线答案(1)相交(2)见解析类题通法(1)判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断.(2)对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件.“分别位于两个平面内的直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交.(1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线中与直线EF异面的条数是()A4
6、B6 C8 D10答案C解析解法一：与EF异面的直线有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共8条解法二：正方体的12条棱中有BB1，BC，CC1，B1C1与EF共面，其余8条棱都与EF异面(2)已知a，b，c是三条不同的直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明解直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面如图(1)(2)(3)例2如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交，求证：a，b，c三线共面证明bc，直线b与c确定一个平面.如图，令abA，acB，A，B，AB.即a，a，b，c三线共面类题通法证明点线共面的常
7、用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合已知abc，laA，lbB，lcC，求证：直线a，b，c和l共面证明证法一：如图，ab，a，b确定一个平面，又laA，lbB，l上有两点A，B在内，即直线l ，a，b，l共面即若a，l确定平面，过l上一点B作ba，则b .同理，过l上一点C作ca，则c也在a，l确定的平面内a，b，c，l共面证法二：ab，a，b确定一个平面，又Aa，Bb，AB ，即l .cb，c，b确定一个平面，而Bb，Cc，BC ，即l .b，l ，b，l，而blB，与重合
8、，a，b，c，l共面.例3已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R(如图)求证：P、Q、R三点共线证明证法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线证法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.又Q直线BC，Q平面APR.又Q，QPR.P，Q，R三点共线类题通法证明点共线问题的方法证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公
9、共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线证明D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，且A1C在平面A1D1CB内，Q平面A1D1CB，Q平面ABC1D1，Q在两平面的交线BD1上，B，Q，D1三点共线.例4已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行求证：l1，l2，l3相交于一点证
10、明如图，l1，l2，l3.l1，l2，且l1，l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3相交于一点P.类题通法证明三线共点的方法证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点已知在正方体ABCDABCD中，如图，E，F分别为AA，AB上的点(E，F不与A，B重合)且EFCD，求证：CF，DE，DA三线共点于P.证明由EFCD知E，F，C，D四点共面E，F不与A，B重合，EFCD，即四边形EFCD为梯形设DECFP，DE平面AADD，P
11、DE，P平面AADD.又CF平面ABCD，PFC，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AADD的公共点又平面ABCD平面AADDAD，PAD，即CF，DE，DA三线共点于P.易错点公理及推论的应用中忽略重要条件 典例已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解A，B，C，D共面，点A在点B，C，D所确定的平面内点B，C，D，E四点共面，点E也在点B，C，D所确定的平面内，点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面错因分析在证明共面问题时，必须注意平面是确定的上述错解中，由于没有注意到，B，C
12、，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错正解A，B，C，D，E五点不一定共面(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面，由题设知A，E，故A，B，C，D，E五点共面于；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若Al，El，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面课堂小结1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面面之间的位置关系是空间中最基本的
13、位置关系.2.公理1,2,3是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结.公理1的主要作用是论证共面问题；公理2的主要作用是判断直线是否在平面内；公理3是判断两平面是否相交的重要依据.1空间中，可以确定一个平面的条件是()A两条直线 B一点和一条直线C一个三角形 D三个点答案C解析由公理1知：不共线的三点确定一个平面，而三角形的三个顶点一定不共线，故三角形可以确定一个平面2已知平面与平面、都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条答案D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且
14、不过同一条直线时，它们有3条交线3若a表示直线，表示平面，则下列命题中正确的是()直线a在平面内，即a与有无数个公共点；直线a不在平面内，即直线a与有一个公共点；直线a不在平面内，即直线a与没有公共点；a与的关系可分为a在内或a不在内A B C D答案C解析直线a不在平面内，即直线a与平行或相交，无公共点或有一个公共点，故错误，显然正确4给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确命题的个数是_答案0解析命题错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱命题错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上命题错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0.
