1、函数与方程【核心素养分析】1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点知识梳理】知识点一 函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零
2、点个数210【特别提醒】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.【典型题分析】高频考点一 函数零点所在区间的判定例1.（2020河北冀州中学模拟）函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)【答案】B【解析】由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)0，f(2)ln 2ln 2ln 0
3、，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)故选B。【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【变式探究】（2020山西忻州一中模拟）若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内【答案】A【解析】ab
4、c，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A。高频考点二 判断函数零点个数例2.(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0,2的零点个数为()A2 B3C4 D5【答案】B【解析】由f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0，2，即零点有3
5、个，故选B.【变式探究】(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数为_【答案】3【解析】由题意可知，当3xk(kZ)时，f(x)0.x0，3x，当3x取值为，时，f(x)0，即函数f(x)cos在0，的零点个数为3.【方法技巧】(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数【变式探究】（2020北京牛栏山一中模拟）已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的
6、零点个数为()A2 B3C4 D5【答案】A【解析】由已知条件可得g(x)3f(2x)函数yf(x)g(x)的零点个数即为函数yf(x)与yg(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示由图可知函数yf(x)与yg(x)的图象有2个交点，所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2，选A.高频考点三 根据函数零点个数或存在情况求参数范围例3【2020天津卷】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是A BC D【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足
7、题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选D。 【举一反三】【2019浙江卷】已知，函数若函数恰有3个零点，则（ ）Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10
8、，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，则a1，b0，故选C。【变式探究】(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)【答案】C【解析】令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf
9、(x)，yh(x)的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.高频考点四 根据函数零点的范围求参数范围例4.（2020辽宁抚顺一中模拟） 若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_【答案】【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m.【方法技
10、巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。【变式探究】（2020河北保定一中模拟）函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)【答案】C【解析】因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a3，故选C。高频考点五 求函数多个零点(方程根)的和例5. (2020石家庄质检一)已知M是函数f(x)|2x3|8sin x(xR)的所有零点之和，则M的值为_【答案】12【解析】将函数f(x)|2x3|8sin
11、x的零点转化为函数h(x)|2x3|与g(x)8sin x图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M812.【方法技巧】求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线ym与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)。【变式探究】（2019浙江宁波中学模拟）已知函数f(x)g(x)则函数f(g(x)的所有零点之和是_【答案】【解析】由f(x)0，得x2或x2，由
12、g(x)2，得x1，由g(x)2，得x，所以函数f(g(x)的所有零点之和是1.高频考点六 综合考查函数与方程例6（2020北京市第四中学高三二模）已知函数(1)若讨论的单调性;(2)当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.参考数据:【答案】（1）当时， 在单调递减；当时，在单调递减；在单调递增 （2）2【解析】（1）对于函数 当时，则在单调递减；当时，令，则，解得 在单调递减；令，解得，所以在单调递增（2）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程即方程在只有一个根令，则令，则在单调递减，在上单调递增，故注意到在无零点，在仅有一个变号的零点在 单调递减，在单调递增
13、，注意到根据题意为 的唯一零点即消去，得：令，可知函数在上单调递增，【变式探究】（2020江苏省天一中学高三模拟）设是偶函数，且当时，（1）当时，求的解析式；（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件【答案】（1）；（2）；（3）与满足的条件为且，或且，或且.【解析】（1）当时，同理，当时，所以，当时，的解析式为（2）因为是偶函数，所以它在区间上的最大值即为它在区间上的最大值，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在与上单调递增，在与上单调递减，所以此时只需比较与的大小（i）当时，所以（ii）当时，所以当时，在与上单调递增，在上单调递减，且，所以.综上所述，（3）设这四个根从小到大依次为，当方程在上有四个实根时，由，且，得，从而，且要求对恒成立（i）当时，在上单调递减，所以对恒成立，即适合题意（ii）当时，欲对恒成立，只要，解得，故此时应满足当方程在上有两个实根时，且，所以必须满足，且，解得当方程在上无实根时，由，解得，所以，且由，解得综上所述，与满足的条件为且，或且，或且
