1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则Q高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为sf(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数根据导数的定义，就是求当t0时，所趋近的那个定值运算比较复杂，而且有的函数，如ysinx，ylnx等很难运用定义求导数是否有更简便的求导数的方法呢？X1基本初等函数的导数公式函数导数(1)f(x)c(c为常数)f(x)0(2)f(x)x(Q*)f(x)x1(3)f(x)sinxf(x)cosx(4)f(x)cosxf(x)sinx(5)f(x)axf(x)axlna(a0且a1)(6)f(
2、x)exf(x)ex(7)f(x)logaxf(x)(a0，且a1)(8)f(x)lnxf(x)2.导数的运算法则(1)设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)0，.3复合函数及其求导法则(1)复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).(2)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu
3、ux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积Y1函数y(xa)(xb)在xa处的导数为(D)AabBa(ab)C0 Dab解析f(x)(xa)(xb)x2(ab)xabf(x)2x(ab)，f(a)2a(ab)ab，故应选D2设y，x，当y2时，x等于(D)ABCD解析y，y，y2，2，cosx，又x，x.故应选D3如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)(B)A1 B0 C2 D4解析由已知得：3k21，k，又g(x)xf(x)，f(3)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3
4、f(3)130.4(2019白银期末)函数yx33x26x10的导数y3x26x6.解析函数的导数为y3x26x6.H命题方向1导数运算法则的应用典例1(1)已知函数f(x)(2x1)ex，f (x)为f(x)的导函数，则f (0)的值为3.(2)求下列函数的导数：yxex；y；yxsinx；ycos2.思路分析这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导解析(1)f (x)2ex(2x1)ex(2x3)exf (0)3.(2)yxexx(ex)exxex(1x)ex.y().y(xsinx)()sinxxcosx.ycos2cosx，y(s
5、inx)sinx.跟踪练习1求下列函数的导数(1)yxtanx；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y.解析(1)y(xtanx).(2)解法1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11；解法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；(3)解法1：y；解法2：y1，y.命题方向2利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数典例2求下列函
6、数的导数：(1)yxln；(2)y；(3)y.思路分析若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导解析(1)因为yxlnxlnxxlnx，所以y(xlnx)(x)lnxx(lnx)lnx；(2)因为yxx2x3，所以y(xx2x3)12x3x2；(3)因为ysinxcosx，所以y(sinxcosx)sinxcosx.规律总结求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关
7、的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导.跟踪练习2求下列函数的导数：(1)ysin2；(2)yln2x.解析(1)因为ysin2(1cosx)cosx，所以ysinx.(2)因为yln2xlnxlnx，所以y(lnxlnx)lnxlnx.命题方向3复合函数的求导典例3求下列函数的导数：(1)y(43x)2；(2)ycos(2x)；(3)yln(4x1)；(4)yex2.思路分析先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导解析(1)设yu2，u43x，则yu2u，ux3，于是yxyuux6(43x)18x24，即y18x24.(2)设ycosu，u2x，则 yus
8、inu，ux2，于是yxyuux2sin(2x)，即y2sin(2x)(3)设ylnu，u4x1，则yu，ux4，于是yxyuux，即y.(4)设yeu，ux2，则yueu，ux2x，于是yxyuuxex22x，即y2xex2.规律总结1.求复合函数的导数的步骤2求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁跟踪练习3求下列函数的导数：(1)y(2x1)3；(2)ysin2xcos2x.解析(1)设yu3，u2x1，则yu3u2，ux2，于是yxy
9、uux6(2x1)2，即y6(2x1)2；(2)y(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x.X综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题典例4已知曲线f(x)x3axb在点P(2，6)处的切线方程是13xy320.(1)求a，b的值；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线l：yx3垂直，求切点坐标与切线的方程思路分析(1)由f(x)在点P处的切线方程可知f(2)，及f(2)6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；(2)由曲线yf(x)的切
10、线与l垂直，可得切线斜率kf(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.解析(1)f(x)x3axb的导数f(x)3x2a，由题意可得f(2)12a13, f(2)82ab6，解得a1，b16；(2)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.由f(x)x3x16，可得y0111614，或y0111618.则切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.规律总结1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题
11、目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径2求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解,跟踪练习4(2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为1.解析f (x)a，f (1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.Y对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数典例5函数yxe12x的导数为_.错解ye12xx(e12
12、x)e12xxe12x(1x)e12x.正解ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.点评错解中对e12x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全K1(2019天津期末)函数f(x)xex的导数是(D)AexB1C1xex1 D1ex解析函数的导数为f (x)1ex，故选D2(2019衡水高二检测)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f (0)等于(D)A26 B29C215 D212解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.3(2019河北区一模)已知函数f(x)xex，f (x)为f(x)的导函数，则f (0)1.解析函数f(x)xex，则f (x)exxex(1x)ex，f (0)(10)e01.故答案为1.4若函数f(x)在xc处的导数值与函数的值互为相反数，求c的值解析因为f(x)，所以f(c).又因为f (x)，所以f (c).依题意知f(c)f (c)0，所以0.所以2c10，得c.
