1、习题课正弦定理和余弦定理学习目标1.学会利用三角形中的隐含条件.2.学会根据条件特点选择正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题知识点一有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由ABC180可得sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sincos，cossin.(2)由三角形的几何性质可得acos Cccos Ab，bcos Cccos Ba，acos Bbcos Ac.(3)由大边对大角可得sin Asin BAB.(4)由锐角ABC可得任意两内角之和大于，进而可得si
2、n Acos B.知识点二正弦定理、余弦定理常见形式1正弦定理的呈现形式(1)2R(其中R是ABC外接圆的半径)；(2)a2Rsin A；(3)sin A，sin B，sin C.2余弦定理的呈现形式(1)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；(2)cos A，cos B，cos C.特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变形解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件，如内角和等1在ABC中，若sin Asin B，则AB.()2在ABC中，若sin 2Asin
3、2B，则AB.()3在ABC中，若cos Acos B，则AB.()类型一利用正弦、余弦定理转化边角关系例1在ABC中，若ccos Bbcos C，cos A，求sin B的值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变形的综合解由ccos Bbcos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C，故sin(BC)0，0B，0C，BC，BC0，BC，故bc.cos A，由余弦定理，得3a22b2，再由余弦定理，得cos B，故sin B.引申探究1对于本例中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得cb.化简得a2c2b2a2b2c2，
4、c2b2，从而cb.2本例中的条件ccos Bbcos C的几何意义是什么？解如图，作ADBC，垂足为D.则ccos BBD，bcos CCD.ccos Bbcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等反思与感悟(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式跟踪训练1在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc.(1)求A的大小；(2)求的值考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、余弦定理解三角形综合解(1)由题意知，cos A，A(0，)，A.(2)由b2ac，得，sin Bsin Bsin A.类型二涉及三
5、角形面积的条件转化例2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B2sin A，且ABC的面积为a2sin B，则cos B .考点用余弦定理解三角形题点逆用面积公式、余弦定理解三角形答案解析由sin B2sin A及正弦定理，得b2a，由ABC的面积为a2sin B，得acsin Ba2sin B，即c2a，cos B.反思与感悟表示三角形面积，即使确定用两边及其夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角跟踪训练2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S(a2b2c2)，则角C为()A135 B45 C60 D120考点用余弦定理解三角形题点逆用面积公式、余弦定理解
6、三角形答案B解析S(a2b2c2)absin C，a2b2c22absin C，c2a2b22absin C由余弦定理c2a2b22abcos C，得sin Ccos C.又C(0，180)，C45.类型三正弦、余弦定理与三角变形的综合应用例3在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2 cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b和c的值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变形的综合解(1)由4sin2 cos 2A及ABC180，得21cos(BC)2cos2A1，4(1cos A)4cos2A5，即4cos2A4cos A10，(2cos
7、A1)20，解得cos A.0A180，A60.(2)由余弦定理，得cos A.cos A，化简并整理，得(bc)2a23bc，将a，bc3代入上式，得bc2.则由解得或反思与感悟(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用(3)三角恒等变形公式是否熟练，对顺利化简非常重要跟踪训练3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a2c2b2ac.求2sin2sin 2B的值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变形的综合解由
8、已知得，所以cos B，sin B，所以2sin2sin 2B2cos2sin 2B1cos B2sin Bcos B12.1在锐角ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案D解析在ABC中，利用正弦定理，得2sin Asin Bsin B，B，sin B0，sin A.又A为锐角，A.2在ABC中，若c2acos B，则ABC的形状一定是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状答案C解析c2ac
9、os B，由正弦定理得，2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，又AB，AB0，AB，ABC是等腰三角形3在ABC中，若满足sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，则A等于()A30 B60 C120 D150考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、余弦定理解三角形综合答案D解析设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，由正弦定理得a2b2c2bc，cos A，又0A180，A150.4在ABC中，AB3，AC2，BC，则 .考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理
10、的变形应用答案解析由余弦定理，得cos A.|cos A32，.1对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况选择恰当的定理或定理的变形来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解一、选择题1在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是()A(1,3) B(2,3) C(，3) D(2，3)考点判断三角形形状题点已知三
11、角形形状求边的取值范围答案C解析由cos Ca2b25.c，又cab3，c3.2在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是()A. B.C. D.考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案C解析设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由已知及正弦定理得a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，则cos A.0A，0A.故选C.3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定考点判断三角形形状题点利用正弦、余
12、弦定理、三角变形判断三角形形状答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin Asin2A，因为0Ab，则B的值为()A. B. C. D.考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角变形的综合答案A解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，由正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab且B(0，)，因此B.7已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B等于()A. B. C. D.考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、
13、余弦定理解三角形综合答案C解析由正弦定理可得，即c2b2aca2，故cos B，又0B，故B.8在ABC中，已知a4b4c42c2(a2b2)，则角C等于()A30 B60C45或135 D120考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案C解析由a4b4c42c2(a2b2)，得(a2b2c2)22a2b2，cos C，又0C180，C45或135.二、填空题9在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，则b .考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案2解析cos C，C，sin C，absin C4，a3，b2.10在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对
14、边，若b2a，BA60，则A .考点正弦、余弦定理解三角形综合题点正弦、余弦定理解三角形综合答案30解析b2a，由正弦定理得sin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化简得sin Acos A，tan A，又0A0，则cos A.同理cos B，cos C，所以cos Acos Bcos C1411(4)12已知三角形的三边分别为a，b，c，面积Sa2(bc)2，则cos A .考点用正弦定理解三角形题点已知面积求边或角答案解析Sa2(bc)2a2b2c22bc2bccos A2bc，Sbcsin A，bcsi
15、n A2bc2bccos A.即44cos Asin A.平方得17cos2A32cos A150.即(17cos A15)(cos A1)0，得cos A1(舍)或cos A.三、解答题13在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小；(2)如果ab6，4，求c的值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与平面向量的综合解(1)由正弦定理可知，可化为，即tan C.又C(0，)，C.(2)|C|cos Cabcos C4，且cos Ccos ，ab8.由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)22ab2abcos (ab)23ab623812，c2.四、探究与拓展14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B(pR)且acb2.若角B为锐角，则p的取值范围是 考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角函数的综合答案解析由余弦定理及正弦定理，得b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p0，c0，ac3.
