1、幂函数与二次函数 1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x)ax2bxc(a0)f (x)ax2bxc(a0且0.3函数y2x2是幂函数吗？提示不是1（2016新课标）已知，则ABCD【答案】A【解析】，综
2、上可得：，故选2（2015北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A6升B8升C10升D12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量；故选3（2017浙江）若函数在区间，上的最大值是，最小值是，则A与有关，且与有关B与有关，但与无关C与无关，且与无关D与无关，但与有关【答案】B【解析】函数的图象是开口朝上且
3、以直线为对称轴的抛物线，当或，即，或时，函数在区间，上单调，此时（1），故的值与有关，与无关当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时，故的值与有关，与无关当，即时，函数在区间，上递减，在，上递增，且（1），此时（1），故的值与有关，与无关综上可得：的值与有关，与无关故选4（2017上海）函数的单调递增区间是A，B，C，D，【答案】B【解析】函数的对称轴是，开口向上，故在，递增，故选5（2016新课标）已知函数满足，若函数与图象的交点为，则A0BCD【答案】B【解析】函数满足，故函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，故函数与 图象的交点也关于直线对称，故，故选6（20
4、18上海）已知，1，2，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_【答案】【解析】，1，2，幂函数为奇函数，且在上递减，是奇数，且，故答案为：7（2019上海）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_【答案】【解析】由题意得：点坐标为，点坐标为，当且仅当时，取最小值，故答案为：8（2016上海）函数在区间，上的最小值为0，最大值为1，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，对称轴，（1），（2），在区间，上的最大值为1，最小值为0，故答案为：1（2020重庆模拟）已知点在幂函数的图象上，设，则，的大小关系为ABCD【答案】C【解析】点在幂函数的图象上，幂函数，在上单调递减，又
5、，即，故选2（2020三明模拟）已知幂函数在上单调递增，函数，对于任意，时，总存在，使得，则的取值范围是AB或C或D【答案】D【解析】幂函数在上单调递增，解得，当，时，设集合，又当，时，设集合，由题意得：，解得：，故选3（2020武昌区模拟）已知点在幂函数的图象上，设，则ABCD【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，点在幂函数上，幂函数解析式为，在上单调递增，故选4（2020金安区校级模拟）已知幂函数是定义在区间，上的奇函数，设，则ABCD【答案】A【解析】根据幂函数是定义在区间，上的奇函数，得，且，解得；，且在定义域上是单调增函数；又，即故选5（2020B卷模拟）已知幂函数的图象经过点，则（
6、2）AB4CD【答案】D【解析】设，因为幂函数图象过，则有，即，（2）故选6（2020江门模拟）若函数是幂函数，且满足，则的值为ABC3D【答案】D【解析】设为常数），满足，则故选7（2020福田区校级模拟）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于ABC2D【答案】B【解析】函数是幂函数，解得，；令，解得，函数的图象经过定点，解得故选8（2013秋鹰潭期末）对于幂函数，若，则，大小关系是ABCD无法确定【答案】A【解析】幂函数在上是增函数，图象是上凸的，当时，应有故选9（2018保定一模）已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（1）A0B2018C4036D40
7、37【答案】D【解析】函数既是二次函数又是幂函数，为偶函数；函数是上的奇函数，为定义域上的奇函数；函数，（1）（1）故选10（2019大武口区校级三模）已知点在幂函数的图象上，设，则，的大小关系为ABCD【答案】A【解析】由点在幂函数的图象上，得，即，单调递增，又，故选11（2019陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，的大小关系为ABCD【答案】A【解析】点在幂函数图象上，（2），解得，的大小关系为故选12（2019陕西二模）已知点在幂函数图象上，设，则，的大小关系是ABCD【答案】A【解析】点在幂函数图象上，（2），解得，设，的大小关系是故选13（2019西湖区校级模拟）若幂函数在上为增
8、函数，则实数A4BC2D或4【答案】A【解析】幂函数在上为增函数，所以，并且，解得故选14（2019西城区模拟）函数在区间上，的最大值是ABC4D【答案】C【解析】函数在第一象限是减函数，函数在区间，上的最大值是故选15（2019西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是AB，C，D【答案】C【解析】幂函数的图象过点，所以，即，所以幂函数为它的单调递增区间是：，故选16（2017长沙一模）已知函数，则A，使得B，C，使得D，使得【答案】B【解析】由函数，知：在中，恒成立，故错误；在中，故正确；在中，使得，故错误；在中，当时，不存在，使得，故不成立故选17（2019西湖区校级模拟
9、）若，则实数的取值范围是A，B，CD，【答案】D【解析】考察幂函数，它在，上是增函数，解得，故选18（2020海南模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为A，B，C，D，【答案】C【解析】函数的对称轴为，函数在区间上单调递增，解得，故选19（2019西湖区校级模拟）若函数在区间，上是减函数，则ABCD【答案】【解析】由，抛物线开口向上，对称轴，若在区间，上是减函数，则，即，故选20（2019西湖区校级模拟）二次函数的部分对应值如表：012346006则不等式的解集是A，B，CD【答案】B【解析】由表格中的数据可得，又（3），且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，不等式的解集是，故选21（20
10、19西湖区校级模拟）设函数，其中，若对任意的，至少有一个为非负值，则实数的最大值是A1BC2D【答案】C【解析】，根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的，和至少有一个为非负值，只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可，由，可得，所以，解得，所以时取得最大值为2故选22（2020静安区二模）若幂函数的图象经过点，则的值为_【答案】【解析】设幂函数为：幂函数的图象经过点，；则的值为：故答案为：23（2020吉林模拟）是幂函数图象上的点，将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点，且在的图象上，则_【答案】30【解析】由，解得可得：，点，且在的图象上，抛物线的焦点
11、，准线方程为根据抛物线的性质可得：，则故答案为：3024（2020攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则_【答案】【解析】函数为幂函数，则；又函数的图象经过点，则，解得；所以故答案为：25（2020郑州二模）幂函数的图象关于轴对称，则实数_【答案】2【解析】函数是幂函数，解得或；当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；当时，函数的图象关于轴对称；实数故答案为：226（2019西湖区校级模拟）如果幂函数的图象不过原点，则的值是_【答案】1【解析】幂函数的图象不过原点，所以解得，符合题意故答案为：127（2015黄冈模拟）已知幂函数的图象过点，则_【答案】【解析】幂函数的图象过点，解得，故答案为：28
12、（2020松原模拟）幂函数的图象经过点，则_【答案】【解析】幂函数的图象经过点，故答案为：29（2019西湖区校级模拟）已知函数的图象在，上单调递增则_，（2）_【答案】0，2；8【解析】函数的图象在，上单调递增，所以，即，解得；又，且，所以，2，当时，；当时，；所以（2）故答案为：0，2；830（2019西湖区校级模拟）若幂函数的图象过点，则（3）_【答案】27【解析】设，因为幂函数图象过，则有，即，（3）（3）故答案为：2731（2019西湖区校级模拟）幂函数的图象过点，则的解析式是_【答案】【解析】由题意设，幂函数的图象过点，（3），故答案为：32（2020浙江模拟）已知函数，对一切，都
13、有，则当，时，的最大值为_【答案】7【解析】由题意，有得所以（1）对一切，都有所以当时，当时，综上所述，当，时，的最大值为733（2020余姚市校级模拟）已知，若对任意的，存在，使得成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】设，当，时，由可看作函数与函数的纵向距离，当切点与端点到直线纵向距离相等时，取得最大值的最小值，由，得，则切线方程为，过端点的平行线为，当纵向距离时，即时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离，即故答案为：34（2020江苏一模）已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式（a）恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由奇函数的性质可得，恒成立，即，故即，此时单调递减的
14、奇函数，由不等式（a）恒成立，可得恒成立，结合二次函数的性质可知，所以故答案为：35（2020江都区校级模拟）函数在区间上递减，则实数的取值范围是_【答案】【解析】在区间上递减，解可得，故答案为：36（2019西湖区校级模拟）已知函数为偶函数，且（3）（5）（1）求函数的解析式；（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围【解析】（1）为偶函数，为偶数，又（3）（5），即有：，又，或当时，为奇数（舍去），当时，为偶数，符合题意，（2）由（1）知： 且在区间，上为增函数令，；当时，是关于的增函数，只需在区间，上为增函数即：当时，是关于的减函数，只需在区间，上为减函数即：，综上可知：的取值范围为：
