1、对数与对数函数 1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质负数和零没有对数；loga10，logaa1(a0，且a1)；N(a0，a1，且N0)；logaaNN(a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0；当0x1时，y1时，y
2、0；当0x0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称概念方法微思考1根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？化简.提示logablogba1；logab.2如图给出4个对数函数的图象比较a，b，c，d与1的大小关系提示0cd1ab.1（2020新课标）若，则ABCD【答案】B【解析】因为；因为即；令，由指对数函数的单调性可得在内单调递增；且（a）；故选2（2020新课标）设，则ABCD【答案】B【解析】因为，则，则则，故选3（2019北京）在天文学中，天体的明
3、暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为AB10.1CD【答案】A【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是，由题意可得：，则故选4（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：ABCD【答案】D【解析】由题意：，根据对数性质有：，故选5（2016新课标）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是ABCD【答案】D【解析】函数的定义域和值域均为，函数的定义域和值域均为，不满足要求；函数的定义域为，值域
4、为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选6（2020天津）设，则，的大小关系为ABCD【答案】D【解析】，则，故选7（2020新课标）设，则ABCD【答案】A【解析】，故选8（2020新课标）已知，设，则ABCD【答案】A【解析】，；，；，综上，故选9（2019天津）已知，则，的大小关系为ABCD【答案】A【解析】由题意，可知：，故选10（2019天津）已知，则，的大小关系为ABCD【答案】A【解析】由题意，可知：，最大，、都小于1，而，故选11（2019新课标）已知，则ABCD【答案】B【解析】，故选12（2018天津）已知，则，的大小关系为
5、ABCD【答案】D【解析】，且，则，故选13（2018天津）已知，则，的大小关系为ABCD【答案】D【解析】，则，的大小关系，故选14（2018新课标）设，则ABCD【答案】B【解析】，故选15（2016浙江）已知，若，则_，_【答案】4；2【解析】设，由知，代入得，即，解得或（舍去），所以，即，因为，所以，则，解得，故答案为：4；216（2016上海）若，则_【答案】7【解析】，可得，解得故答案为：71（2020卷模拟）设，则、的大小关系是ABCD【答案】C【解析】，则；故选2（2020射洪市校级一模）已知，则ABCD【答案】B【解析】根据题意，得；，且，；，且，；故选3（2020镜湖区校级
6、模拟）已知，则，的大小关系是ABCD【答案】B【解析】，即，即，故选4（2020泸州四模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，5级地震已经给人的震感已比较明显，8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的A30倍B倍C100倍D1000倍【答案】D【解析】由可得，即，当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；所以，两次地震的最大振幅之比是：；即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍故选5（2020
7、庐阳区校级模拟）已知为自然对数的底数，又，则ABCD【答案】B【解析】因为，则故选6（2020武昌区校级模拟）已知，则ABCD【答案】A【解析】因为，则故选7（2020来宾模拟）已知，若，则的取值范围为A，BCD，【答案】B【解析】由题意可得，解得，即函数的定义域为，因为在区间上，函数单调递增，函数单调递增，所以函数在区间上单调递增，又（2），所以，即为（2），所以，解得或故选8（2020丹东二模）已知地震释放出的能量与地震的里氏震级的关系为，2011年3月11日，日本北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为，2008年5月12日，我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为，那么A1
8、.5BCD【答案】C【解析】根据题意，即故选9（2020永康市模拟）设，则ABCD【答案】D【解析】由，由，比较与4的大小即可；，即故选10（2020金安区校级模拟）已知函数，若，则有A（b）（a）（c）B（a）（b）（c）C（a）（c）（b）D（c）（a）（b）【答案】B【解析】在上是增函数，且时，时，（a）（b）（c），（a）（b）（c）故选11（2020让胡路区校级三模）若函数与函数互为反函数，则A9B11C16D18【答案】D【解析】因为函数与函数互为反函数，所以，所以，故选12（2020海口模拟）千字文是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个
9、不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然已知将1000个不同汉字任意排列，大约有种方法，设这个数为，则的整数部分为A2566B2567C2568D2569【答案】B【解析】由题可知，因为，所以，所以的整数部分为2567故选13（2020香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻若，则的值约为A1.322B1.410C1.507D1.669【答案】A【解析】由，所以；即的值约为1.322故选14
10、（2020梅河口市校级模拟）设，若，则下列关系式中正确的是ABCD【答案】B【解析】，故选15（2020平谷区二模）溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔升，则胃酸的是（参考数据：A1.398B1.204C1.602D2.602【答案】C【解析】由 可得，故选16（2020枣庄模拟）已知，若，则AB2CD4【答案】B【解析】对两边取以为底的对数，得，即，同理有：，代入，得，因为，所以，所以，故选17（2020濮阳一模）在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是，2，的概率为，这被称为本福特定律以此判断，一个数的
11、首位数字是1的概率约为ABCD【答案】D【解析】根据题意，时，概率为，即一个数的首位数字是1的概率约为故选18（2020邯郸一模）ABCD【答案】B【解析】，故选19（2020绵阳模拟）已知，则A4B6CD9【答案】D【解析】，故选20（2019西湖区校级模拟）函数的定义域是ABCD【答案】C【解析】由题意得，解得，则函数的定义域是，故选21（2018辽宁模拟）函数的定义域为A或BCD或【答案】A【解析】由题意得：，解得：或，函数的定义域是：或，故选22（2020怀柔区一模）函数的图象是ABCD【答案】D【解析】则函数的定义域为：，即函数图象只出现在轴右侧；值域为：即函数图象只出现在轴上方；在
12、区间上递减的曲线，在区间上递增的曲线分析、四个答案，只有满足要求故选23（2019运城模拟）已知函数满足（a），则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】根据题意可得，在上单调递减，在上单调递增；根据题意可知，；当，时，（a），解得；当时，（a）不符合题意（舍；当，时，（a），解得；综上，的取值范围为故选24（2020柯桥区二模）16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发现了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，伽利略说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙”直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系若，则_，_【答案】，1【解析】，指数式化为对数式得：，故答案为：，
13、125（2020徐州模拟）函数的定义域是_【答案】，【解析】要使函数有意义，则需满足解之得，且，函数的定义域是，故答案是，26（2019西湖区校级模拟）函数的定义域是_【答案】，【解析】由，解得：函数的定义域是，故答案为：，27（2020辽宁二模）已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则_【答案】2【解析】令得：，此时（2），函数且的图象恒过定点，即，又点在函数的图象上，故答案为：228（2020麒麟区校级二模）函数恒过点_【答案】或【解析】令得，或6，此时，所以函数过定点或，故答案为：或29（2020中卫三模）已知函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】当时，由得：，解得：，；当时，
14、由得：，综上所述，不等式的解集为，故答案为：30（2020阳泉一模）若函数且的图象过定点，则_【答案】2【解析】令，可得，且，故函数且的图象过定点，再由函数且的图象过定点，可得、，故，故答案为 231（2020九江三模）如图所示，正方形的四个顶点在函数，的图象上，则_【答案】2【解析】设，则，又，即，为正方形，；可得，解得故答案为：232（2018江苏模拟）函数，若对任意，如果，则的值为_【答案】1009【解析】函数，若对任意，如果，可得，可得，则故答案为：100933（2020临汾模拟）已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）当函数的定义域为时，求实数的取值范围【解析】函数的定义域满足，即
15、，（1）当时，设，则（3分），（5分）（2）由知，的最小值为4，7分，的取值范围是（10分）34（2019西湖区校级模拟）已知，（1）求的定义域（2）证明为奇函数（3）求使成立的的取值范围【解析】（1），的定义域为：，解得，的定义域为（2），为奇函数（3），由，得，当时，有，解得；当时，有，解得；当时，使成立的的取值范围是，当时，使成立的的取值范围是35（2019西湖区校级模拟）设函数，且（）求（3）的值；（）令，将表示成以为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的的值【解析】（）函数，且，故（3）（）令，则，且，令，故当时，函数取得最小值为，此时求得；当时，函数取得最大值为1
16、2，此时求得36（2019西湖区校级模拟）已知函数（1）若，求函数的定义域（2）若函数的值域为，求实数的取值范围（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围【解析】（1）若，则要使函数有意义，需，解得若，函数的定义域为（2）若函数的值域为，则能取遍一切正实数，即，若函数的值域为，实数的取值范围为，（3）若函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数且在区间上恒成立，且即且37（2019西湖区校级模拟）计算（1）；（2）【解析】（1），（2）38（2019上海模拟）已知函数（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值【解析】（1）由题意知函数的反函数是其本身，所以的反函数，反函数为，所以（2）当时，则，故最小值为39（2019西湖区校级模拟）已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由【解析】（1）依题意有，解得，所以函数的定义域是（2）由（1）知定义域关于原点对称，函数为偶函数40（2019西湖区校级模拟）计算：【解析】原式
