1、第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是 2021 年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为 5 分.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 1 _
2、向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a 2 _(2)基底：3 _的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底不共线1e12e2不共线2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 4 _，ab 5 _，a 6 _，|a|7 _(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 8 _，|AB|9_3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，
3、y2)，ab 10 _(x2x1，y2y1)（x2x1）2（y2y1）2x1y2x2y10常用结论 1能作为基底的两个向量必须是不共线的 2向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标为终点坐标减去起点坐标，故平移后向量的坐标不变 3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC 中，向量AB，BC的夹角为ABC()(3)同一向
4、量在不同基底下的表示是相同的()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为一组基底的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，7)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e212，34答案：B3(必修 4P99 例 8 改编)设 P 是线段 P1P2 上的一点，若 P1(1，3)，P2(4，0)且 P 是线段 P1P2 的一个三等分
5、点(靠近点 P1)，则点 P 的坐标为()A(2，2)B(3，1)C(2，2)或(3，1)D(2，2)或(3，1)答案：A三、易错自纠4(2019 届安徽示范性高中二模)ABC 内一点 O 满足OA 2OB 3OC 0，直线AO 交 BC 于点 D，则()A2DB 3DC 0B3DB 2DC 0COA 5OD 0D5OA OD 0解析：选 A 因为ABC 内一点 O 满足OA 2OB 3OC 0，直线 AO 交 BC 于点 D，所以15OA 25OB 35OC 0.令OE 25OB 35OC，则15OA OE 0，所以 B，C，E 三点共线，A，O，E 三点共线，所以 D，E 重合 所以OA
6、5OD 0，所以 2DB 3DC 2OB 2OD 3OC 3OD OA 5OD 0.故选 A5在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4，3)，PQ(1，5)，则BC_解析：AQ PQ PA(3，2)，AC2AQ(6，4)PCPAAC(2，7)，BC3PC(6，21)答案：(6，21)6.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为_解析：由题意，得AO 12(ABAC)m2AM n2AN.因为 M，O，N 三点共线，所以m2n21.所以 mn
7、2.答案：2课 堂 考 点 突 破2考点一 平面向量基本定理及其应用|题组突破|1(2020 届惠州调研)在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，那么EF()A12AB12ADB12AB12ADC12AB12ADD12AB12AD解析：选 C 解法一：因为 E 是 DC 的中点，所以EC12DC 12AB.因为 F 是 BC 的中点，所以CF12CB12AD，所以EFECCF12AB12AD，故选 C解法二：如图，连接 BD，因为 E，F 分别是 DC，BC 的中点，所以EF12DB 12(ABAD)12AB12AD，故选 C2直线 l 与平行四边形 ABCD 的两边
8、AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交其对角线AC 于点 K.若AB2AE，AD 3AF，ACAK(R)，则()A2B52C3D5解析：选 D AB2AE，AD 3AF，ACAK，AK1AC1(ABAD)1(2AE3AF)2AE3AF.E，F，K 三点共线，231，5.故选 D3.如图，已知在ABC 中，D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，连接 AD，E 为线段 AD 的中点若CEmABnAC，则 mn()A13B12C14D12解析：选 B 依题意，得AD ABBD AB13BCAB13(ACAB)23AB13AC，CE CA AECA 12AD AC 1223AB13AC AC 1
9、3AB16AC 13AB56AC.CEmABnAC，m13，n56，mn135612.故选 B名师点津用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理考点二 平面向量的坐标运算|题组突破|4(2019 届福建模拟)已知向量 a(2，4)，b(1，1)，则 2ab 等于()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)解析：选 D 2ab2(2，4)(1，1)(3，9)，故选 D5已知向量AC，AD 和AB在边长为 1 的正方
10、形网格中的位置如图所示，若ACABAD，则 等于()A2B2C3D3解析：选 A 如图所示，建立平面直角坐标系 xOy，则AD(1，0)，AC(2，2)，AB(1，2)因为ACABAD，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以2，22，解得1，3，所以 2.故选 A6已知向量 a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若 3a2bc0，则 c()A(23，12)B(23，12)C(7，0)D(7，0)解析：选 A 由题意，得 3a2bc3(5，2)2(4，3)(x，y)(23x，12y)(0，0)，所以23x0，12y0，解得x23，y12，所以 c(23，12)名师点津1向量坐标运算
11、的策略(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标(3)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则2向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解考点 平面向量共线的坐标表示多维探究命题角度一 利用两向量共线求参数【例 1】(2018 年全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _解析 因为 2ab(4，2)，又 c(2ab)，所以 42，解得 12.答案 12命题角度二
12、 利用两向量共线求坐标【例 2】已知在梯形 ABCD 中，ABDC，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_解析 在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABDC，DC 2AB.设点 D 的坐标为(x，y)，则DC(4x，2y)，AB(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，4x2，2y2，解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2，4)答案(2，4)命题角度三 三点共线问题【例 3】已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是()A23B43C12D13解析 ABOB OA(4k，7)，ACOC OA
13、(2k，2)因为 A，B，C 三点共线，所以AB和AC共线，所以2(4k)7(2k)，解得 k23.答案 A名师点津1向量共线的两种表示形式设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)2两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值|跟踪训练|1设向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，则实数 x()A2B3C4D6解析：选 B 由向量 a(2，4)与向量 b(x，6)共线，可得
14、 4x26，解得 x3.2已知点 A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若APABAC(R)，且点 P 在直线 x2y0 上，则 的值为_解析：设 P(x，y)，则由APABAC，得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27)，所以 x54，y75.又点 P 在直线 x2y0 上，故 542(75)0，解得 23.答案：23考点 平面向量坐标运算的创新应用平面向量基本定理及坐标运算常与最值范围创新考查，该类题型命题角度新颖，综合能力强，多为选择、填空的压轴题【例】(2019 届重庆一中月考)给定两个单位向量OA，OB，且OA OB 32，点C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动，O
15、C xOA yOB，则 3xy 的最小值为()A 3B1C2D0解析 由单位向量OA，OB，且OA OB 32，得AOB56.建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，则 A(1，0)，Bcos 56，sin 56，即 B 32，12.设AOC056，则OC(cos，sin)因为OC xOA yOB，所以x 32 ycos，12ysin，所以xcos 3sin，y2sin，所以 3xy 3(cos 3sin)2sin 3cos sin 2sin3.因为 056，所以3376，所以 sin3 12，1，所以 3xy1，2，所以 3xy 的最小值为1，故选 B 答案 B名师点津解决平面向量基本定理及坐
16、标运算与最值范围的创新问题的 2 种方法(1)临界分析法：即充分利用平面向量的几何定义，结合图形，临界分析，多用到共线问题(2)坐标法：即数形结合，建立恰当的坐标系后，寻求所求量的目标函数，转化为函数的最值问题|跟踪训练|给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 120.点 C 在以点 O 为圆心的圆弧AB上移动，若OC xOA yOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是()A3B4C2D8解析：选 C 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1，0)，B(cos 120，sin 120)，即 B12，32.设AOC，则OC(cos，sin)OC xOA yOB(x，0)y2，3y2(cos，sin)，xy2cos，32 ysin，xsin 3 cos，y2sin 3，xy 3sin cos 2sin(30)0120，3030150，当 60时，xy 有最大值 2，故选 C 点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
