1、江苏省徐州市第一中学2020届高三数学下学期6月第一次适应性考试试题（含解析）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题第8题，共40分）、多项选择题（第9题第12题，共20分）、填空题（第13题第16题，共20分）和解答题（第17题第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在
2、答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可联立方程与并求得交点坐标，然后根据交集相关性质即可得出结果.【详解】联立方程与方程，即，解得交点坐标为和，故，故选：C.【点睛】本题考查交集的相关性质，能否明确集合中所包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.2.已知是的共轭复数，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】
3、D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数表示为一般形式，结合共轭复数的定义可求得、的值，由此可得出的值.【详解】，由题意可得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法和乘方运算，同时也考查了共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.3.设向量，且，则（ ）.A. B. 5C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以设，然后根据得出以及，再然后根据向量的坐标运算得出，最后根据即可联立方程并通过计算得出结果.【详解】设因为，所以，即，所以，因为，所以，解得，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的相关性质以及向量的坐标运算，若两向量垂直，则向量的乘积为，考查计算能力，体现了基础
4、性，是中档题.4.温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响.一般来说，温度每升高，化学反应的反应速率大约增加倍.瑞典科学家总结了大量化学反应的反应速率与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数与温度之间呈指数关系，并提出了相应的公式：，式中为碰撞频率因子，为自然对数的底数，为活化能，为气体常数.通过公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系.已知温度为时，化学反应的速率常数为；温度为时，化学反应的速率常数为.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据公式得，计算出，然后利用对数的运算性质化简可得结果.【详解】根据公式可得，上述两个等式相除得，
5、因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数与对数的运算，解答的关键在于求得的表达式，考查计算能力，属于基础题.5.的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. 160D. 【答案】A【解析】【分析】将代数式变形为，求出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项可得结果.【详解】，展开式的通项为，令，得，因此，的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于基础题.6.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所
6、截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为、，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为、，则命题：“、相等”是命题“、总相等”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】由祖暅原理可知，若、总相等，则、相等，即必要性成立；假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥，它们的体积分别为、，则，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为、，但与不总相等
7、，即充分性不成立.因此，命题是命题的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解本题的关键，考查推理能力，属于中等题.7.已知函数，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出函数为偶函数，且在区间上单调递减，然后比较、的大小关系，进而可得出、的大小关系.【详解】函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，所以，函数在区间上单调递减，且，则，即.故选：C.【点睛】本题考查利用余弦型函数的单调性比较函数值的大小，同时也考查了利用指数函数的单调性比较指数式的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.已知双曲线的左、右焦点分
8、别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N在圆上，则的最小值为( )A. B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值【详解】由题意可得2a4，即a2，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1（，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|，由圆x2+y24y0可得圆心C（0，2），半径r2，|MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|
9、取得最小值，且为|CF2|3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+325故选B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论不正确的是（ ）.A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度与时间
10、具有比较明显的线性相关性B. 2019年10月网民对该关键词的搜索指数变化的走势图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故当月搜索指数的平均值约为29000C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年10月的方差小于11月的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值【答案】ABC【解析】【分析】根据所给图表及平均数、方差的概念及意义逐项判断正误.【详解】这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度与时间不具有明显的线性相关性，A错误；2019年10月网民对该关键词的搜索指数最高值约为2900，故平均值应低于2900，B错误；2019年10月的方差大
11、于11月的方差，C错误；2019年12月份起到2020年1月份呈下降趋势，所以2019年12月份的平均值大于2020年1月份的平均值，D正确.故选：ABC【点睛】本题考查统计图表，属于基础题.10.已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是（ ）.A. 函数的图像关于直线对称B. 当时，函数的最小值为C. 若，则的值为D. 要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】【分析】首先根据函数的最大值得到，根据图像相邻的两条对称轴之间的距离得到，再根据的图像关于点对称得到，从而得到.对选项A，因为，故A错误.对选项B，根据题意
12、得到，从而得到的最小值， 故B正确.对选项C，根据得到，再计算的值即可判断B错误.对选项D，将的图像向右平移个单位，得到，即可判断D正确.【详解】由题知：函数的最大值为，所以.因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，.又因为的图像关于点对称，所以，所以，.因为，所以.即.对选项A，故A错误.对选项B，当时，取得最小值， 故B正确.对选项C，得到.因为，故C错误对选项D，的图像向右平移个单位得到，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题.11.如图，在三棱锥中，、分别为棱、的中点，平面，则（ ）A. 三棱锥的体积为B. 直线与直线垂直C. 平面截
13、三棱锥所得的截面面积为D. 点与点到平面的距离相等【答案】ACD【解析】【分析】根据锥体的体积公式可判断A选项的正误；假设，推导出平面，结合题意可判断B选项的正误；取的中点，计算出四边形的面积，可判断C选项的正误；证明出平面，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，、分别为、的中点，则，且，平面，平面，为的中点，所以，A选项正确；对于B选项，平面，平面，又，即，平面，、分别为、的中点，平面，平面，平面，平面，平面，平面，假设，平面，而过点有且只有一条直线与平面垂直，故B选项错误；对于C选项，取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，且，所以，四边形为平行四边形，则平面截三棱锥所得的截
14、面为平行四边形，易知，且，所以，故C选项正确；对于D选项，平面，平面，平面，所以，点与点到平面的距离相等，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查锥体体积、截面面积的计算，同时也考查了线线垂直的判断以及线面平行的应用，考查推理能力，属于中等题.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.A. 当时，B. 函数在上有且仅有三个零点C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是D. ，【答案】BD【解析】【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】令，则，所以，得，所以选项A错误；观察在时的图象，令，得，可知在上单调递减，在上递增，且在上，在上，由此
15、可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.三、填空题：13.盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次.则取得小球标号最大值是3的取法有_种.（用数字作答）【答案】19【解析】【分析】本题可通过题意列出所有满足标号最大值是的取法，然后计算出数目即可得出结果.【详解】由题意可知，满足标号
16、最大值是3的取法有：、，共种，故答案为.【点睛】本题考查学生对题意的理解，能否根据题意列出所有满足题意的取法是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14.给出下列三个论断：；且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：_【答案】推出，推出【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得【详解】解：由；且.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：（1）若，且，则；或（2）若，且，则；对于（1）若且，则，由不等式的性质可得即；对于（2）若且，则，由不等式的性质可得即；故答案为：推出，推出【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于
17、基础题15.已知抛物线的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，且点到抛物线的对称轴和准线的距离相等，则点的坐标为_；为坐标原点，交抛物线的准线于点，则三角形内切圆的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意求点的坐标，再求直线的方程，得到点的坐标，根据三角形内切圆的性质及三角形的面积公式即可求得结论.【详解】抛物线的标准方程为，焦点坐标为准线方程为，对称轴为轴，设，点到抛物线的对称轴和准线的距离相等，所以，解得，所以可得，,因为，所以,所以直线的方程为即，又因为抛物线的准线方程为，所以可得，由两点间的距离公式求得,设三角形内切圆半径，所以，解得，所以三角形内切圆面积.故答案为
18、：；【点睛】本题考查直线和抛物线的关系，利用抛物线的定义解决问题的方法：灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离相等这一性质“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径,属于中档题.16.已知点是单位正方体（棱长均为）的对角面上的一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体的侧面相交于、两点，则的面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】过点作平面平面，交线为，平面分别交棱、于点、，设，计算出，可得出关于、的表达式，由此可求得的最大值.【详解】如下图所示过点作平面平面，交线为，平面分别交棱、于点、，设，则，平面，平面，同理，易知四边形为正方形，则，易知平面，
19、平面，.当时，为等腰直角三角形，；当时，令，其中，则，则当时，所以，函数在区间上单调递减，即.综上所述，面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查正方体中三角形面积最值的计算，解答的关键就是建立函数关系式，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在，（），（）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由.已知数列为等比数列，数列的首项，其前n项和为，_，是否存在，使得对任意，恒成立？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】见解析【解析】【分析】由数列为等比数列可得，通过，整理可得，进而
20、可求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；由可得数列为等比数列，求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；由知数列是等差数列，求出数列的通项公式，求出，利用作差法求最大项即可判断.【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，所以，故.若选择，则，则（），两式相减整理得（），又，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以所以由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，所以不存在，使得对任意，恒成立.若选择，则由（），知数列是首项为1，公比为的等比数列，所以所以因为.当且仅当时取得最大值.所以存在，使得对任意，恒成立.若选择，则由（）知数列是公差为2的等差数列.又，所以.设，则所以当时，当时，
21、.即所以存在，使得对任意，恒成立.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.(1)求的值；(2)若，求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)先由的面积为且D为BC的中点，得到的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,由三角形的面积公式可知:,由正弦定理可得:,所以, (2) ,又因为为中点，所以,即,在中由正弦定理可得,所以由
22、（1）可知所以, 在直角中,所以.在中用余弦定理，可得.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.19.如图，在边长为的菱形中，现沿对角线把翻折到的位置得到四面体，如图所示.已知.（1）求证：平面平面；（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，推导出、，利用线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）推导出、两两垂直，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1
23、）在三棱锥中，取的中点，连接、，得到，四边形是菱形，又，又，又，、平面，平面，又平面，平面平面；（2），为中点，、两两垂直，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量，由，即，解得，取，则，易知平面的一个法向量为，.由图可知二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位
24、居民的网购消费金额均在区间内，按，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，
25、求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意得，计算，由，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为
26、，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.所以补全的列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，.所以，.因为，则，所以的数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题21.椭圆（）的离心率是，
27、点在短轴上，且（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，b），（0，b）又点P的坐标为（0，1），且1于是，解得a2，b所以椭圆E方程为.（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，得（2k21）x24kx20其判别式（4k）28（2k21）0所以从而x1x2y1y2x1x2（y11）（y21）（1）（1k2）x1x2k（x1x2）1所以，当1时，3，此时，3
28、为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD此时213故存在常数1，使得为定值3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.22.已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.（1）求a；（2）讨论函数和的单调性；（3）设，求证：.【答案】（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，
29、依次放缩，不等式，递增得()，,先证，然后同样放缩得出结论【详解】解：（1）对求导，得.因此.又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.由题意，.显然，适合上式.令，求导得，因此为增函数：故是唯一解.（2）由（1）可知，因为，所以为减函数.因为，所以为增函数.（3）证明：由，易得.由（2）可知，在上为减函数.因此，当时，即.令，得，即.因此，当时，.所以成立.下面证明：.由（2）可知，在上为增函数.因此，当时，即.因此，即.令，得，即.当时，.因为，所以，所以.所以，当时，.所以，当时，成立.综上所述，当时，成立.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，这是最关键的一步然后一步一步放缩即可证明本题属于困难题
