1、第二章 函数的概念及基本初等函数()第四节 二次函数与幂函数栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是2021 年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，分值为 5 分.1.逻辑推理2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1幂函数(1)定义：形如 1 _的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，
2、为常数常见的五类幂函数为 yx，yx2，yx3，yx12，yx1.yx(R)(2)性质幂函数在(0，)上都有定义当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增当 0)f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是a0，0.ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是a0，0 时，幂函数 yxn 在(0，)上是增函数()(3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x
3、)kx 的图象过点12，22，则 k()A12B1C32D2答案：C3(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)4x2kx8 在1，2上是单调函数，则实数 k的取值范围是_答案：(，816，)三、易错自纠4已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则()Aa0，4ab0Ba0，2ab0Daf(1)，得 f(x)ax2bxc 图象的对称轴为 x b2a2，4ab0.又 f(0)f(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是 a0，故选 A5若(a1)2(32a)2，则 a 的取值范围是_解析：由 yx2 的图象关于 y 轴对称知，函数 yx2 在(0，)
4、上是减函数，在(，0)上是增函数 因为(a1)2(32a)2，所以32a0，a10，32aa1或32a0，a10，32a0，a1（a1）或32a0，（32a）a1，解得1a23或 a或 a4，所以 a 的取值范围是(，1)1，23(4，)答案：(，1)1，23(4，)课 堂 考 点 突 破2考点一 幂函数的图象与性质|题组突破|1(2019 届福建龙岩新罗区期中)若函数 f(x)(m2m1)xm 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则 f(x)()A是偶函数B是奇函数C是单调递减函数D在定义域内有最小值解析：选 B 由幂函数 f(x)(m2m1)xm 的图象与坐标轴无交点，可得 m2m11，且 m
5、0，解得 m1，则函数 f(x)x1，是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值故选 B2已知点13，27 在幂函数 f(x)(t2)xa 的图象上，则 ta()A1B0C1D2解析：选 B 点13，27 在幂函数 f(x)(t2)xa 的图象上，f13(t2)13a27，且 t21，解得 t3，a3，ta330.故选 B3如图的曲线是幂函数 yxn 在第一象限内的图象已知 n 分别取2，12四个值，与曲线 C1，C2，C3，C4 相对应的 n 依次为()A2，12，12，2B2，12，2，12C12，2，2，12D2，12，12，2解析：选 A 根据幂函数 yxn 的性质及在第一象限内的图象，
6、当 n0 时，n 越大，递增速度越快，故曲线 C1 对应的 n2，曲线 C2 对应的 n12；当 n4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确；对称轴为 x1，即 b2a1，2ab0，错误；结合图象知，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为 x1 知，b2a.又函数图象开口向下，所以 a0，所以 5a2a，即 5ab，正确故选 B5函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是()A3，0)B(，3C2，0D3，0解析：选 D 当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足条件；当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a2a，由
7、f(x)在1，)上递减，知a0，3a2a 1，解得3a0.综上，a 的取值范围为3，0故选 D6由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 yax2bxc的图象过点(1，0)求证：这个二次函数的图象关于直线 x2 对称根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是()A在 x 轴上截得的线段的长度是 2B与 y 轴交于点(0，3)C顶点是(2，2)D过点(3，0)解析：选 C 由已知得，abc0，b2a2，解得 b4a，c3a，二次函数为 ya(x24x3)，其顶点的横坐标为 2.故选 C名师点津二次函数性质应用的求解策略(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数
8、大于 0，等于 0，小于 0.(2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算考点 二次函数的最值问题变式探究【例】设函数 yx22x，x2，a，若函数的最小值为 g(a)，求 g(a)解 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1.当21 时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，g(a)a22a，21.|变式探究|1(变条件)若“yx2ax，x2，2”，问题不变解：对称轴 xa2，当a22，即 a4 时，此时在2，2上单调递增，故当 x2 时，yming(2)42a.当a22，即 a4 时，此时在2，2上单调递减
9、，当 x2 时，yming(2)42a.当2a22，即4a4 时，函数在 xa2时取得最小值，即 yminga2 a24.综上，g(a)42a，a4，a24，4a0 时，函数 f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为 x1a.f(x)minf1a 1a；当1a1，即 0a1 时，函数 f(x)的图象的对称轴在0，1的右侧，f(x)在0，1上递减，f(x)minf(1)a2；()当 a0 时，函数 f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在0，1的左侧，f(x)在0，1上递减，f(x)minf(1)a2.综上所述，g(a)a2，a0)在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当 b2am
10、，n，即对称轴在所给区间内时：f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是 f b2a 4acb24a；若 b2amn2，f(x)的最大值为 f(n)；若 b2amn2，f(x)的最大值为 f(m)(2)当 b2am，n，即给定的区间在对称轴的一侧时：f(x)在m，n上是单调函数若 b2am，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是 f(m)，最大值是 f(n)；若 n b2a，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是 f(n)，最大值是 f(m)(3)当不能确定对称轴 b2a是否属于区间m，n时：则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求
11、最值|跟踪训练|求函数 f(x)x22ax1 在区间1，2上的最大值解：f(x)(xa)21a2，由题意得，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 xa.当a12时，f(x)maxf(2)4a5；当a12，即 a12时，f(x)maxf(1)22a，综上，f(x)max4a5，a12，22a，a12.考点 二次函数的创新应用问题【例】设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在 xa，b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若 f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0，3上是“关联函
12、数”，则m 的取值范围是_解析 由题意知，yf(x)g(x)x25x4m 在0，3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 ym 与 yx25x4(x0，3)的图象如图所示，结合图象可知，当函数 ym 与 yx25x4(x0，3)的图象有两个交点时，m 的取值范围为94，2.答案 94，2名师点津本题的关键是抓住“关联函数”的定义，充分利用二次函数图象结合数形结合思想去求解|跟踪训练|(2019届江西红色七校第一次联考)定义：如果函数f(x)在a，b上存在x1，x2(ax1x2b)，满足 f(x1)f(x2)f（b）f（a）ba，则称函数 f(x)是a，b上的“中值函数”已知函数 f(x)13x312x2m 是0，m上的“中值函数”，则实数 m 的取值范围是_解析：由题意，知 f(x)x2x 在0，m上存在 x1，x2(0 x1x2m)，满足 f(x1)f(x2)f（m）f（0）m13m212m，所以方程 x2x13m212m 在(0，m)上有两个不相等的解令 g(x)x2x13m212m(0 x0，g（0）13m212m0，解得34m0，m0，答案：34，32点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
