1、2015-2016学年新疆生产建设兵团一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合，集合N=x|2x+30，则（RM）N=（）A）B（）C（D2已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D33已知|=1，|=6， （）=2，则与的夹角是（）ABCD4若函数f（x）=sinx+cosx（xR），又f（）=2，f（）=0，且|的最小值为，则正数的值是（）ABCD5已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“ABC是钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
2、分也不必要条件6函数具有性质（）A最大值为，图象关于直线对称B最大值为1，图象关于直线对称C最大值为，图象关于（）对称D最大值为1，图象关于对称7下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（）（1）y=sinx；（2）y=cosx； （3）x=；（4）x=AB2C0D8若函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A1，）B（，）C（，+）D（，）9函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移
3、个单位长度10若，且sinsin0，则下面结论正确的是（）AB+0CD2211已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时不等式f（x）+xf（x）0成立，若a=30.3f（30.3），b=log3f（log3），c=log3f（log3），则a，b，c大小关系是（）AbacBabcCacbDbca12已知函数和函数，若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）AB1，2）CD二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设的值为14ABC中，a、b、c成等差数列，B=30，SABC=，那么b=15已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，
4、点C在第二象限，且AOC=150，设，（R），则=16点P是单位圆O外任意一点，过P点作圆O的两条切线，切点为A、B，则的最小值为三解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17已知：向量=（sin，1），向量，（1）若，求：的值；（2）求：的最大值18已知函数f（x）=（log2x2）（log4x）（1）当x2，4时，求该函数的值域；（2）若f（x）mlog2x对于x4，16恒成立，求m的取值范围19设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2bc）cosA=acosC（）求角A的大小；（）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积20设函数（）求f（
5、x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若求a的最小值21已知函数f（x）=ax4lnx+bx4c（x0）在x=1处取得极值3c，其中a，b，c为常数（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x0，不等式f（x）2c2恒成立，求c的取值范围22设函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，讨论函数f（x）的单调性（）若对任意a（3，4）及任意x1，x21，2，恒有成立，求实数m的取值范围2015-2016学年新疆生产建设兵团一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题
6、（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合，集合N=x|2x+30，则（RM）N=（）A）B（）C（D【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】分别求出集合M和N中不等式的解集，确定出M和N，由全集为R，找出不属于M的部分，求出M的补集，找出M补集与N的公共部分，即可求出所求的集合【解答】解：由集合M中的不等式移项得：10，即0，解得：x1，集合M=（1，+），又全集为R，CRM=（，1，由集合N中的不等式2x+30，解得：x，集合N=（，+），则（CRM）N=（，1故选C【点评】此题属于以其他不等式的解法为平台，考查
7、了交并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型学生求补集时注意全集的范围2已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A1B1C2D3【考点】复数代数形式的混合运算【专题】数系的扩充和复数【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果【解答】解：由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1另解：由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1故选B【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题3已知|=1，|=6， （）=2，则与的夹角是（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】设与的夹角是，则由题意可得=6
8、cos，再根据 （）=2，求得cos 的值，可得 的值【解答】解：设与的夹角是，则由题意可得=16cos=6cos，再根据 （）=6cos1=2，cos=，=，故选：C【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，属于基础题4若函数f（x）=sinx+cosx（xR），又f（）=2，f（）=0，且|的最小值为，则正数的值是（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】三角函数的图像与性质【分析】先化简f（x），分别有f（）=2，f（）=0解出，由此可表示出|的最小值，令其等于，可求得正数的值【解答】解：f（x）=2sin（x+），由f（）=2，得+
9、=，由f（）=0，得+=k2，k2Z，则=，当k=0时|取得最小值，则=，解得=，故选C【点评】本题考查三角函数的恒等变换、解简单的三角方程，考查学生解决问题的能力5已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“ABC是钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】从两个方向判断：一个是看能否得到ABC为钝角三角形，另一个看ABC为钝角三角形能否得到，这样即可判断出“”是“ABC是钝角三角形”的什么条件【解答】解：如图，（1）若，则cos0；A90，即ABC是钝角三角形；（2）若ABC为钝角三角形，
10、则A不一定为钝角；不一定得到；是ABC为钝角三角形的充分不必要条件故选A【点评】考查数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及钝角三角形的概念，充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念6函数具有性质（）A最大值为，图象关于直线对称B最大值为1，图象关于直线对称C最大值为，图象关于（）对称D最大值为1，图象关于对称【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性【专题】计算题【分析】利用诱导公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后，利用三角函数的对称性和周期性求得函数的最小正周期和对称点【解答】解： =sinx+cosxsinx=sin（x）函数的最大值为，排除B，D令x=0求得x=，函数关于（，0）对
11、称故选C【点评】本题主要考查了三角函数的基本性质，对称性和周期性解题的关键是对函数解析式的化简整理进而利用好三角函数的基本性质7下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（）（1）y=sinx；（2）y=cosx； （3）x=；（4）x=AB2C0D【考点】定积分【专题】导数的综合应用【分析】利用定积分可知：此四条曲线（直线）所围成的区域的面积S=，解出即可【解答】解：作出四条曲线（直线）：y=sinx，y=cosx，x=，x=则此四条曲线（直线）所围成的区域的面积S=故选A【点评】正确理解定积分的意义是解题的关键8若函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数
12、，则实数k的取值范围（）A1，）B（，）C（，+）D（，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间【专题】导数的综合应用【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的f（x）=4x=，由f（x）0解得x，此时函数单调递增，由f（x）0解得0x，此时函数单调递减，故x=时，函数取得极小值当k=1时，（k1，k+1）为（0，2），函数在（0，）上单调减，在（，2）上单调增，此时满足题意；当k1时，函数f（x）=2x2lnx在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，x=在（k1，k+1）内，即，即，即k，此
13、时1k，综上1k，故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键9函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求的值，再将特殊点代入求出值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可【解答】解：由图象可知A=1，T=，=2f（x）=sin（2x+），
14、又因为f（）=sin（+）=1+=+2k，=（kZ）|，=f（x）=sin（2x+）=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）将函数f（x）向左平移可得到cos2（x+）=cos2x=y故选C【点评】本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求的值10若，且sinsin0，则下面结论正确的是（）AB+0CD22【考点】函数奇偶性的性质；正弦函数的单调性【专题】计算题；压轴题【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故sin与sin皆为正，sins
15、in0可以得出|，故可以确定结论【解答】解：，sin，sin皆为非负数sinsin0，sinsin|，22故选：D【点评】本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度11已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时不等式f（x）+xf（x）0成立，若a=30.3f（30.3），b=log3f（log3），c=log3f（log3），则a，b，c大小关系是（）AbacBabcCacbDbca【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【专题】导数的概念及应用【分析】由已知中f（x）+xf（x），结合导数的运算性质（
16、uv）=uv+uv，构造函数h（x）=xf（x），则h（x）=f（x）+xf（x）0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决【解答】解：令h（x）=xf（x），函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，函数h（x）在x（0，+）时的单调性为单调递减函数；h（x）在x（，0）时的单调性为单调递增函数若a=30.3f（30.3），又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，从而h（0）=0因为log3=2，所以f（log3）=f（2）=f（2），由0log3130.330.52所以h（log3）h（30.
17、3）h（2）=f（log3），即：bac故选A【点评】本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）=uv+uv；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在12已知函数和函数，若存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）AB1，2）CD【考点】函数的零点与方程根的关
18、系【专题】计算题；压轴题【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；【解答】解：函数，当x1时，f（x）=，f（x）=0，f（x）为增函数，f（）f（x）f（1），f（x）（，；当0x时，f（x）=x+，为减函数，f（）f（x）f（0），f（x）0，综上：f（x）0，；函数，g（x）=，0，g（x）0；g（x）为增函数，g（0）g（x）g（1），g（x）=1a，1，存在x1，x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立
19、，g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，解得a2，故选C；【点评】此题主要考查函数的存在性问题，一般与恒成立问题一个类型，知识点比较全面，是一道中档题，也是一道好题；二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设的值为【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；同角三角函数间的基本关系【专题】计算题【分析】用换元法求出函数f（x）的解析式，从而可求函数值【解答】解：令sin+cos=t（t，），平方后化简可得 sincos=，再由f（sin+cos）=sincos，得f（t）=，所以f（sin）=f（）=故答案为：【点评】本题主要考查换
20、元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题14ABC中，a、b、c成等差数列，B=30，SABC=，那么b=【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得【解答】解：a、b、c成等差数列，2b=a+c，4b2=a2+c2+2ac，SABC=，ac=6b2=a2+c22accosB由得，故答案为：【点评】本题解题过程有点麻烦，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大
21、胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清15已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC=150，设，（R），则=8【考点】任意角的三角函数的定义；平面向量的基本定理及其意义【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】根据向量的基本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可【解答】解： =（1，0）+2（1，）=（+2，2），即C（+2，2），AOC=150，tan150=，即+2=6，即=8，故答案为：8【点评】本题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的基本运算求出C的坐标是解决本题的关键16点P是单位圆O
22、外任意一点，过P点作圆O的两条切线，切点为A、B，则的最小值为【考点】圆的切线方程；平面向量数量积的运算【专题】综合题；转化思想；平面向量及应用；直线与圆【分析】如图所示，不妨取P（m，0），A（cos，sin），B（cos，sin）（0，）由于，可得=0，得到cos=于是=3，再利用基本不等式即可得出【解答】解：如图所示，不妨取P（m，0），A（cos，sin），B（cos，sin）（0，），=（cos，sin）（cosm，sin）=cos（cosm）+sin2=0，化为cos=（cosm，sin）（cosm，sin）=（cosm）2sin2=2cos2+m23=323，当且仅当m2=时取等
23、号的最小值为23故答案为：23【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、数量积的运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题三解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17已知：向量=（sin，1），向量，（1）若，求：的值；（2）求：的最大值【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模【专题】计算题【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量垂直，数量积等于0，得到sin（+）=0，求出（2）由=，及+，可得当sin（+）=1时，有最大值【解答】解：（1），=0，sin+cos=sin（+）=0，= （2）=|（sin+1，cos+
24、1）|= ，+，当sin（+）=1时，有最大值，此时，=，最大值为 =+1【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法18已知函数f（x）=（log2x2）（log4x）（1）当x2，4时，求该函数的值域；（2）若f（x）mlog2x对于x4，16恒成立，求m的取值范围【考点】对数函数图象与性质的综合应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）f（x）=（log2x2）（log4x）=（log2x）2log2x+1，2x4，令t=log2x，则y=t2t+1=（t）2，由此能求出函数的值域（2）令t=log2x，得t2t+1mt对于2t4恒成立，
25、从而得到mt+对于t2，4恒成立，构造函数g（t）=t+，t2，4，能求出m的取值范围【解答】解：（1）f（x）=（log2x2）（log4x）=（log2x）2log2x+1，2x4令t=log2x，则y=t2t+1=（t）2，2x4，1t2当t=时，ymin=，当t=1，或t=2时，ymax=0函数的值域是，0（2）令t=log2x，得t2t+1mt对于2t4恒成立mt+对于t2，4恒成立，设g（t）=t+，t2，4，g（t）=t+=（t+），g（t）=t+在2，4上为增函数，当t=2时，g（t）min=g（2）=0，m0【点评】本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法
26、，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用19设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（2bc）cosA=acosC（）求角A的大小；（）若角B=，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题【分析】（1）利用正弦定理把中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式进行化简整理求得cosA，进而求得A（2）由（1）知，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x，进而用余弦定理建立等式求得x，进而用三角形面积公式求得答案【解答】解：（1）因为，所以，则，所以，于是（2）由（1）知而，所以AC=BC，设AC=x，则又在AMC中由余弦定理得AC2+M
27、C22ACMCcosC=AM2，即，解得x=2，故【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题20设函数（）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若求a的最小值【考点】余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域【专题】计算题【分析】（）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，
28、可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos（2A）的值，由A为三角形的内角，得出2A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c22bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值【解答】解：（）f（x）=cos（2x）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2xsin2x+1
29、=cos（2x+）+1，（3分）1cos（2x+）1，即cos（2x+）最大值为1，f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2k（kZ），解得：x=k（kZ），则x的集合为x|x=k（kZ）；（6分）（）由题意，f（B+C）=cos2（B+C）+1=，即cos（22A+）=，化简得：cos（2A）=，（8分）A（0，），2A（，），则有2A=，即A=，（10分）在ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c22bccos=（b+c）23bc=43bc，（12分）由b+c=2知：bc=1，当且仅当b=c=1时取等号，a243=1，则a取
30、最小值1（14分）【点评】此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21已知函数f（x）=ax4lnx+bx4c（x0）在x=1处取得极值3c，其中a，b，c为常数（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x0，不等式f（x）2c2恒成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题【分析】（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=3c求出b，然后令导
31、函数=0求出a即可；（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；（3）不等式f（x）2c2恒成立即f（x）的极小值2c2，求出c的解集即可【解答】解：（1）由题意知f（1）=3c，因此bc=3c，从而b=3又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b）由题意f（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12（2）由（I）知f（x）=48x3lnx（x0），令f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）为减函数；当x1时，f（x）0，此时f（x）为增函数因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+）（3）由（II）知
32、，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=3c，此极小值也是最小值，要使f（x）2c2（x0）恒成立，只需3c2c2即2c2c30，从而（2c3）（c+1）0，解得或c1所以c的取值范围为（，1【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力22设函数（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，讨论函数f（x）的单调性（）若对任意a（3，4）及任意x1，x21，2，恒有成立，求实数m的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从
33、而可求函数的极值；（）求导函数f（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（）由（）知，当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减，从而可得对任意a（3，4），恒有，等价于m，求出右边函数的值域，即可求得结论【解答】解：（）函数的定义域为（0，+） 当a=1时，f（x）=xlnx，则f（x）=令f（x）0，可得x0或x1，x0，x1；令f（x）0，可得0x1，x0，0x1；x=1时，函数f（x）取得极小值为1；（）f（x）=当，即a=2时，f（x）在（0，+）上是减函数；当，即a2时，令f（x）0，得或x1；令f（x）0，得当，即1a2时，令f（x）0，得0x1或x；令f（x）0，得综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a2时，f（x）在（0，）和（1，+）上单调递减，在（，1）上单调递增；当1a2时，f（x）在（0，1）和（，+）上单调递减，在（1，）上单调递增；（）由（）知，当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值对任意a（3，4），恒有m构造函数，则a（3，4），函数在（3，4）上单调增g（a）（0，）m【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，分离参数是关键
