1、3双 曲 线第1课时双曲线及其标准方程Q 通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？X 1双曲线的概念(1)在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作_双曲线.这两个定点叫作双曲线的_焦点_，两焦点之间的距离叫作双曲线的_焦距_.(2)在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|则动点的轨迹_不存在_.(3)双曲线定义中应注意关键词“_绝对值_”，若去掉定义中“_绝对值_”三个字，
2、动点轨迹只能是_双曲线一支_.2双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_1(a0，b0)_，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_1(a0，b0)_.(2)在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为_a2b2c2_.Y 1已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是(D)A双曲线B双曲线的一支C直线D一条射线解析F1，F2是两定点，|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线2(2019山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(0,6)、(0，6)，且经过点A(5,6)，则其标准方程为(B)A1B1C1D1解析由条件知c
3、6，焦点在y轴上，排除A、D；又双曲线经过点A(5,6)，排除C3设点P是双曲线1上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|_4或16_.解析由双曲线方程，得a3，b4，c5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|PF1|6，所以|PF2|PF1|610616；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|PF2|6，所以|PF2|PF1|61064.故|PF2|4或|PF2|16.4已知双曲线x2y2m与椭圆2x23y272有相同的焦点，则m的值为_6_.解析椭圆方程为1，c2a2b2362412，焦点F1(2，0)，F2(2，0)，双曲线1与
4、椭圆有相同焦点，2m12，m6.H 命题方向1双曲线的定义典例1已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程思路分析利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解解析设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,0)、C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)规律总结1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线2与双曲线
5、两焦点有关的问题常利用定义求解3如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解跟踪练习1(2019济宁高二检测)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解析设动圆圆心M(x，y)动圆M与C1，C2的切点分别为A，B，则|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，又|MA|MB|，|MC2|MC1|BC2|AC1|312即|MC2|MC1|2，又|C1C2|6由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1，C2为焦点，中心在原点的双曲线的左支2a2,2c6，a1，c3，b28，动点M的轨迹为x21(x1
6、)典例2若为三角形的一个内角，且sincos，则曲线x2siny2cos1是(A)A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆解析sincos，sincos0，cos0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，且m21，所以1n0，b0)，代入点的坐标，解方程组求出a2、b2，也可以直接设方程Ax2By21(A0，B0，n0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0，b0)，c216420，即a2b220，双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.解法二：设所求双曲线的方程为1(40，
7、b0)点P，Q在双曲线上，此方程无解当焦点在y轴上时，设标准方程为1(a0，b0)点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.解法二：设双曲线的方程为1，mn0.点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.命题方向3判断曲线类型典例4当0180时，方程x2cosy2sin1表示的曲线怎样变化？思路分析对特殊情况为0、45、90、180时进行讨论，并与圆锥曲线方程的标准形式进行类比，得出结论解析方程Ax2By21表示的轨迹是参数A，B相关的，因此要确定轨迹，需对参数A、B进行讨论(1)当0时，方程为x21，它表示两条平行直线x1.(2)当090时，方程为1.当045时，0，它表示焦点在y轴上
8、的椭圆当45时，它表示圆x2y2.当450，它表示焦点在x轴上的椭圆(3)当90时，方程为y21，它表示两条平行直线y1.(4)当900且m10，m1.当双曲线焦点在y轴上时m10，且m20，此时m1或m0，b0)上，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2.求PF1F2的面积S.解析设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a.在F1PF2中，由余弦定理，得cos11，|PF1|PF2|.在F1PF2中，由面积公式，得SF1PF2|PF1|PF2|sinb2b2cot.跟踪练习6若双曲线1(m0，n0)和椭圆1(ab0)有相同的焦点F1、F2，M为两曲
9、线的交点，则|MF1|MF2|等于_am_.解析由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|MF2|2，|MF1|MF2|2，22得，4|MF1|MF2|4a4m，|MF1|MF2|am.X 双曲线的其他形式 (1)双曲线的一般方程：当ABC0时，方程Ax2By2C可以变形为1，由此可以看出方程Ax2By2C表示双曲线的充要条件是ABC0，且A，B异号此时称方程Ax2By2C为双曲线的一般方程利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax2By21(AB0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当B0时，表示焦点在y轴上的双曲线(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线1(a0，b0)有公共焦点的双曲线的方程为1
10、(a0，b0)；与双曲线1(a0，b0)有公共焦点的双曲线的方程为1(a0，b0)典例7下列各选项中，与1共焦点的双曲线是(C)A1B1C1D1解析方法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；又双曲线1的焦点在x轴上，所以排除选项B方法二：与1共焦点的双曲线系方程为1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C中的方程符合条件(此时2)故选C跟踪练习7与双曲线1有相同焦点，且过点(10，)的双曲线方程为_1_.解析设所求双曲线的方程为1.将x10，y代入方程，得1，解得4或(舍去)故所求双曲线的方程为1.Y 典例8已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，求k的值错解将双曲线方程
11、化为标准方程1.因为焦点在y轴上，所以a2，b2，所以c3，即9，所以k.辨析上述解法有两处错误：一是a2、b2确定错误，应该是a2，b2；二是a、b、c的关系式用错了在双曲线中应为c2a2b2.正解将双曲线方程化为kx2y21，即1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以c3，a2，b2，所以a2b2c29.所以k1.K 1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是(B)A1m1Cm3Dm1解析依题意应有m10，即m1.故选B2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是(D)AB1或2C1或D1解析由题意得4a2a2，a2a20，a1或2(舍去)故选D3已知两定点F1(3,0)、F2(
12、3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A)A|PF1|PF2|5B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|7D|PF1|PF2|0解析A中，|F1F2|6，|PF1|PF2|5|F1F2|，动点P的轨迹不存在；D中，|PF1|PF2|0，即|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A4(浙江湖州20172018学年期末调研)双曲线C：y21的左右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|_2_，双曲线C的离心率e_.5根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)c，经过点(5,2)，且焦点在x轴上(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，5)，F2(0,5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.解析(1)因为c，且焦点在x轴上，故可设标准方程为1(a20，b0)因为2a6,2c10，所以a3，c5.所以b2523216.所以所求双曲线标准方程为1.
