1、备战2019中考初中数学六大题型专项突破专题五:数学活动型问题【方法指导】数学活动问题是对数学问题进行全方位探究，同时要求学生会通过自己动手，从具体的操作中去发现和创造，动脑去探究、发现、归纳，最终解决某一实际问题的一类数学问题对学生能力有更高的要求，需要进行操作、合理猜测和验证，充分体现了课改新理念常见的数学活动有以下几种类型：在折叠剪拼中发现问题，在变换中探索问题，在操作中探究问题学生通过观察图形在平移、翻折、旋转等图形变化过程中所隐含的规律，猜想所得的结论，并进行证明及其相关计算，是解决此类问题的基本策略.【典例解析】类型一： 再折叠中探究问题【例1】（2019湖北宜昌）（11分）在矩形
2、ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值【分析】（1）先判断出A=D=90，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出PGC=PBC=90，BPC=GPC，进而判断出GPF=PFB即可得出结论；判断出ABEDEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出ECFGCP，进而求出PC，即可得
3、出结论；判断出GEFEAB，即可得出结论【解答】解：（1）在矩形ABCD中，A=D=90，AB=DC，E是AD中点，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当AD=25时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，设AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BE
4、PG，ECFGCP，设BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如图，连接FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=129=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键类型二： 在变换中探究问题【例2】（2019湖南郴州）（12.00分）在矩形ABCD中，ADAB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PFBC，交对角线BD于点F（1）如图1，将PDF沿对
5、角线BD翻折得到QDF，QF交AD于点E求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2，将PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB设旋转角为（0180）若0BDC，即DF在BDC的内部时，求证：DPCDFB来源:ZXXK如图3，若点P是CD的中点，DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时tanDBF的值，如果不能，请说明理由【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知DFQ=ADF，所以DEF是等腰三角形；（2）由于PFBC，所以DPFDCB，从而易证DPFDCB；由于DFB是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论【解答】解：（1）由翻折可知：DFP=
6、DFQ，PFBC，DFP=ADF，DFQ=ADF，DEF是等腰三角形，（2）若0BDC，即DF在BDC的内部时，PDF=PDF，PDFFDC=PDFFDC，PDC=FDB，由旋转的性质可知：DPFDPF，PFBC，DPFDCB，DPFDCBDPCDFB当FDB=90时，如图所示，DF=DF=BD，tanDBF=，当DBF=90，此时DF是斜边，即DFDB，不符合题意，当DFB=90时，如图所示，DF=DF=BD，DBF=30，tanDBF=【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识类型三： 在操
7、作中探究问题【例3】（2019山东淄博）（9分）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG=NG；位置关系是MGNG（2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断G
8、MN的形状，并给与证明【考点】KY：三角形综合题【分析】（1）利用SAS判断出ACDAEB，得出CD=BE，ADC=ABE，进而判断出BDC+DBH=90，即：BHD=90，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H，ABD和ACE都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90CAD=BAE，ACDAEB（SAS），CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90，
9、BHD=90，CDBE，点M，G分别是BD，BC的中点，MGCD，同理：NGBE，MG=NG，MGNG，故答案为：MG=NG，MGNG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90，DHE=90，同（1）的方法得，MGNG【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解
10、决问题是解本题的关键【真题热身】1. （2019嘉兴）欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=则该方程的一个正根是（）AAC的长BAD的长CBC的长DCD的长2. （2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）3. （2019吉林）（10.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，ADB=30P，Q两点分别从
11、A，B同时出发，点P沿折线ABBC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNAD，垂足为点N连接PQ，以PQ，PN为邻边作PQMN设运动的时间为x（s），PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQAB时，x= ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值4. （2019包头）（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE当OE=DE时
12、，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EFEC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G当BE平分ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D处，过点D作DNAD于点N，与EH交于点M，且AE=1求的值；连接BE，DMH与CBE是否相似？请说明理由5. （2019山东烟台）（11分）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接
13、PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求APB的度数【参考答案】1. （2019嘉兴）欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=则该方程的一个正根是（）AAC的长BAD的长CBC的长DCD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可【解答】解：欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB
14、=90，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B2. （2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案【解答】解：过点C1作C1Nx轴于点N，过点A1作A1Mx轴于点M，由题意可得：C1NO=A1MO=
15、90，1=2=3，则A1OMOC1N，OA=5，OC=3，OA1=5，A1M=3，OM=4，设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（，）故选：A3. （2019吉林）（10.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，ADB=30P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线ABBC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNAD，垂足为点N连接PQ，以PQ，PN为邻边作PQMN设运动的时间为x（s），PQMN与矩形A
16、BCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQAB时，x=s；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值【分析】（1）当PQAB时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题；（2）分三种情形分别求解即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）当PQAB时，BQ=2PB，2x=2（22x），x=s故答案为s（2）如图1中，当0x时，重叠部分是四边形PQMNy=2xx=2x2如图中，当x1时，重叠部分是四边形PQENy=（2x+2txx=x2+x如图3中，当1x2时，重叠部分是四边形PNEQy=
17、（2x+2）x2（x1）=x23x+4；综上所述，y=（3）如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件则有：tanEAB=tanQPB，解得x=如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件此时tanDEA=tanQPB，解得x=，综上所述，当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题4. （2019包头）（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点（1）如图1，连接
18、BD，O是对角线BD的中点，连接OE当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EFEC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G当BE平分ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D处，过点D作DNAD于点N，与EH交于点M，且AE=1求的值；连接BE，DMH与CBE是否相似？请说明理由【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出ODEADO，即可得出结论；（2）先判断出AEFDCE，进而求出BF=1，再判断出CHGCBF，进而求出BK=GK=，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先求出E
19、C=5，再求出DC=1，根据勾股定理求出DH=，CH=，再判断出EMNEHD，的粗，EDMECH，得出，进而得出，即可得出结论；先判断出MDH=NED，进而判断出MDH=ECB，即可得出，即可【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，BAD=90在RtABD中，根据勾股定理得，BD=，O是BD中点，OD=OB=OA=，OAD=ODA，OE=DE，EOD=ODE，EOD=ODE=OAD，ODEADO，DO2=DEDA，设AE=x，DE=5x，（）2=5（5x），x=，即：AE=；（2）如图2，在矩形ABCD中，BE平分ABC，ABE=EBC=45，AD
20、BC，AEB=EBC，ABE=AEB，AE=AB=3，AE=CD=3，EFEC，FEC=90，AEF+CED=90，A=90，AEF+AFE=90，CED=AFE，D=A=90，AEFDCE，AF=DE=2，BF=ABAF=1，过点G作GKBC于K，EBC=BGK=45，BK=GK，ABC=GKC=90，KCG=BCF，CHGCBF，设BK=GK=y，CK=5y，y=，BK=GK=，在RtGKB中，BG=；（3）在矩形ABCD中，D=90，AE=1，AD=5，DE=4，DC=3，EC=5，由折叠知，ED=ED=4，DH=DH，EDH=D=90，DC=1，设DH=DH=z，HC=3z，根据勾股定
21、理得，（3z）2=1+z2，z=，DH=，CH=，DNAD，AND=D=90，DNDC，EMNEHD，DNDC，EDM=ECH，MED=HEC，EDMECH，相似，理由：由折叠知，EHD=EHD，EDH=D=90，MDH+EDN=90，END=90，EDN+NED=90，MDH=NED，DNDC，EHD=DMH，EHD=DMH，DM=DH，ADBC，NED=ECB，MDH=ECB，CE=CB=5，DMHCBE【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键5. （2019山东烟台）（11分）【问题解
22、决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求APB的度数【分析】（1）思路一、先利用旋转求出PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，利用勾股定理求出PP，进而判断出APP是直角三角形，得出
23、APP=90，即可得出结论；思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论【解答】解：（1）思路一、如图1，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，在RtPBP中，BP=BP=2，BPP=45，根据勾股定理得，PP=BP=2，AP=1，AP2+PP2=1+8=9，AP2=32=9，AP2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APP+BPP=90+45=135；思路二、同思路一的方法；（2）如图2，将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=1，AP=CP=，在RtPBP中，BP=BP=1，BPP=45，根据勾股定理得，PP=BP=，AP=3，AP2+PP2=9+2=11，AP2=（）2=11，AP2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APPBPP=9045=45【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键
