1、作业6空间向量与立体几何1在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】2如图，在三棱柱中，是棱的中点（1）证明：平面；（2）若平面，是棱中点，当二面角的大小为时，求线段的长度【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：连结交于点，则为的中点，连结，而是中点，则，因为平面，平面，所以平面（2）因为平面，所以，又，是棱的中点，所以面，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，则，所以，分别设平面与平面的法向量为，由，解得，同理可得，由，解得，所以线段的长度为一、选择题1给出下列命题：将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，
2、则它们的终点构成一个圆；若空间向量，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，满足，则；空间中任意两个单位向量必相等其中假命题的个数是（ ）ABCD2已知，与的夹角为，则的值为（ ）ABCD3设，向量，且，则（ ）ABCD4如图是一平行六面体，为延长线上一点，则（ ）ABCD5在三棱柱中，侧棱底面，点，分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6在棱长为的正方体中，点为的中点，则点到平面的距离为（ ）ABCD7如图，在直三棱柱中，是的中点，则求直线与平面的距离为（ ）ABCD8如图，已知梯形中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体已知
3、当点满足时，平面平面，则的值为（ ）ABCD二、填空题9已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 10已知，三点不共线，是平面外任意一点，若由，确定的一点与，三点共面，则 11在菱形中，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 三、解答题12如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值13如图，在四棱锥中，已知底面，异面直线与所成角等于（1）求直线与平面所成角的正弦值的大小？（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由一、选择题1【答案】C
4、【解析】假命题，将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；假命题，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量和方向不一定相同；真命题，根据正方体的性质，在正方体中，向量和的方向相同，模长也相等，应有；真命题，向量的相等满足递推规律；假命题，空间中任意两个单位向量模长均为，但方向不一定相同，故不一定相等，故错2【答案】C【解析】，所以且，故3【答案】C【解析】，4【答案】B【解析】取的中点，连接，则且，四边形是平行四边形，且，又，5【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为
5、6【答案】C【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，而，点到平面的距离为7【答案】B【解析】由三角形的中位线可证平面，而由是直三棱柱，且，故以为原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则有，取，得，又，直线与平面的距离为8【答案】C【解析】因为四边形为正方形，且平面平面，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为，所以，则，设平面的一个法向量为，则由，取，设平面的一个法向量为，则由，取，由题意知，解得二、填空题9【答案】【解析】，解得，10【答案】【解析】根据，四点共面的充要条件，知存在实数，使得成立，其中，于是，所以11【答案】【
6、解析】设，在菱形中，折起后，两两垂直，以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系在原菱形中，设，令，则，令，则，又，与间的距离三、解答题12【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）平面，平面，又，平面，平面，平面平面，平面平面（2）以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，设，则，取，则，为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即，取，则依题意，则，于是设平面与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为13【答案】（1）；（2）为棱上靠近点的三等分点，详见解析【解析】（1）由题以为原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，则由，可得，即又异面直线与所成角等于，则，设平面的一个法向量为，取，则，又，直线与平面所成角的正弦值为（2）假设存在这样的点，设，且，即，设平面的一个法向量为，得，又平面的法向量为，解得或（不合题意，舍去），存在这样的点，为棱上靠近点的三等分点
